x^-2 - 1 = 0 lösen

Mis2com

Hi,

mir wurde gesagt, dass meine Lösung falsch ist, aber ich verstehe nicht, warum:

x^-2 - 1 = 0 | *x^3
x^1 - x^3 = 0

So, das gibt aufgelöst die 3 Ergebnisse: -1 0 1
0 schließt man aus, da man es in der Probe nicht zurückverfolgen kann.

So haben wir es in einem ähnlichen Fall gelernt, die Lösungsmenge wäre demnach {-1; 1}.
Jetzt frage ich:
Wieso ist das falsch?

MfG Eisflamme

Gunnar

Ich sehe keinen Fehler, bis auf die Tatsache dass du den Fall x=0 von vorneherein ausschliessen musst, wegen Undefiniertheit.
Noch einfacher:
x^(-2)-1=0 <=> 1/(x^2)=1 <=> 1=x^2 <=> x=1 oder x=-1

Mis2com

Hi,

ja, ich mache ja bei allen Ergebnissen die Probe, sodass 0 ausgeschlossen wird im Nachhinein.
Geht das nicht?
Haben die Pauker uns weismachen wollen.

MfG Eisflamme

Gunnar

Naja, so ganz sauber ist es nicht, denn wenn du mit x^-3 multiplizierst, dann teilst du ja eigentlich durch x^3, was man nicht darf, falls x=0. Deswegen darfst du den Schritt nur durchfuehren, wenn du voraussetzt, dass x!=0. Z.B. mit einer Fallunterscheidung.

SG1

@Gunnar: er multipliziert mit x^3, nicht mit x^-3. Von daher brauchts keine Fallunterscheidung (und in der Schule schon gar nicht... )

@Mis2com: Ich wuerd an Deiner Stelle ja mit x^2 multiplizieren :p Aber das Ergebnis ist natuerlich richtig (wenns nur um reelle Loesungen geht). Wer sagt, dass das falsch ist?

Wozu überhaupt multiplizieren
Das Ergebnis kann man doch direkt ablesen.

Mis2com

Hi,

ich würde das jetzt auch nicht mehr machen, aber mir ging es nur um diese eine Rechnung, die mir spontan einfiel. Als ich sie verwandt, wurde mir gleich von allen Seiten gesagt, dass das Unsinn seie und nicht ging, weil 0 vorkam. Ich meinte dann, man könne die 0 weglassen, wenn man sie einfach ausschließt, sodass die Lösungsmenge {-1;1} ist, aber da widersprach man mir. :p

Tja...

MfG Eisflamme

Gunnar

Ja, hab Unsinn geschrieben

Jedenfalls, wenn du eine Gleichung mit etwas multiplizierst, was moeglichweise 0 ergibt (hier x^3), dann ist es i.d.R. keine Aequivalenzumformung mehr, deswegen kannst du ohne Vorsicht nicht mehr vom Endergebnis auf die Loesung der Anfangsgleichung schliessen.
Nach deiner Rechung folgt richtigerweise aus x^-2-1=0 => (x=-1 oder x=1 oder x=0), der Umkehrschluss gilt nicht.
Durch Ueberpruefung der moeglichen Ergebnisse (Einsetzen in die Ursprungsformen und gucken ob's stimmt) erhaeltst du dennoch die Loesungsmenge.
D.h., wenn du die Folgerungsrichtungen beachtest, und noch etwas argumentierst, ist die Loesung richtig.

Mis2com

Hi,

jetzt gibt es bestimmte Leute, die den Weg einfach nicht einsehen wollen. Sie wollen einen Beweis dafür, wie könnte man sowas denn richtig beweisen, dass geht?

MfG Eisflamme

ethereal

x^-2 - 1 = 0 [e]harr[/e] x^-2 = 1 [e]harr[/e] 1 / x^2 = 1 [e]harr[/e] 1 = 1 * x^2 [e]harr[/e] x = 1 oder x = -1

wäre meine Lösung...

edit: sry für diese unübersichtliche Darstellung, aber ich habe noch nie diese Latex-Tags verwendet.

Mis2com

Die Methode ist sicherlich auch besser, stimmt ja auch...

MfG Eisflamme

SG1

ethereal schrieb:

x^-2 - 1 = 0 [e]harr[/e] x^-2 = 1 [e]harr[/e] 1 / x^2 = 1 [e]harr[/e] 1 = 1 * x^2 [e]harr[/e] x = 1 oder x = -1
wäre meine Lösung...

edit: sry für diese unübersichtliche Darstellung, aber ich habe noch nie diese Latex-Tags verwendet.

Versuchs mal mit \iff und \frac:

x^-2 - 1 = 0 \iff x^-2 = 1 \iff \frac{1}{x^2} = 1 \iff 1 = 1 * x^2 \iff x = 1 \lor x = -1

Du musst 0 im Nachhinnein nicht ausschliessen, denn wie jemand beinahe richtig anmerkte, wenn Du mit $x^{-3}$ multiplizierst, musst Du 0 direkt ausschliessen, weil sonst nicht definiert.
Richtig, Du wolltest mit $x^3$ multiplizieren. Aber da musst Du die 0 auch direkt ausschliessen, da eine Multiplikation keine Aequivalenzumformung ist, sondern bloss eine Folgerung zulaesst.

MoKrates

Nur mal so nebenbei.

SG1 schrieb:

Aber das Ergebnis ist natuerlich richtig (wenns nur um reelle Loesungen geht).

Bei nicht-reellen Lösungen würde das nicht viel anders aussehen...

Jockel