Problem mit Integral:
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hi, mal wieder ein Problem:
\int cos(x)e^a^x dx
wie löse ich das integral?danke im voraus!
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$\begin{gathered} \int {\cos \left( x \right)e^{ax} dx} = \sin \left( x \right)e^{ax} - \int {\sin \left( x \right)ae^{ax} dx} = \sin \left( x \right)e^{ax} - \left[ { - \cos \left( x \right)ae^{ax} - \int { - \cos \left( x \right)a^2 e^{ax} dx} } \right] \hfill \\ = \sin \left( x \right)e^{ax} + \cos \left( x \right)ae^{ax} - a^2 \int {\cos \left( x \right)e^{ax} } \hfill \\ \Leftrightarrow \hfill \\ \int {\cos \left( x \right)e^{ax} dx} = \sin \left( x \right)e^{ax} + \cos \left( x \right)ae^{ax} - a^2 \int {\cos \left( x \right)e^{ax} dx} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a^2 + 1} \right)\int {\cos \left( x \right)e^{ax} dx} = \sin \left( x \right)e^{ax} + \cos \left( x \right)ae^{ax} \hfill \\ \Leftrightarrow \int {\cos \left( x \right)e^{ax} dx} = \frac{{\sin \left( x \right)e^{ax} + \cos \left( x \right)ae^{ax} }} {{a^2 + 1}} \hfill \\ \end{gathered} $Viele Grüße
Fischi
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\par \int cos(x)e^a^x dx = \int \frac 1 2 ( e^{ix}+e^{-ix} )e^{ax} dx = \par \int \frac 1 2 ( e^{(a+i)x}+e^{(a-i)x} ) = \par \int \frac 1 2 e^{a+ix} dx + \int \frac 1 2 e^{a-ix} dx = ... = \par \; \frac {a-i} {a^2+1} e^{(a+i)x} + \frac {a+i} {a^2+1} e^{(a-i)x} = ... = \par \; \frac {a} {a^2+1} cos(x) e^{ax} + \frac {1} {a^2+1} sin(x) e^{ax}
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danke,
fubar wie kommst du auf das?
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Das ist die Definition des Cosinus durch die komplexe Exponentialfunktion.
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komlexe Exp funktion hatten wir noch nicht, gibts auch ne ähnliche Definition ohne Komplexe Zahlen oder muss man den "umständlichen" Weg über die partielle Integration machen?
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Integrate schrieb:
gibts auch ne ähnliche Definition ohne Komplexe Zahlen oder muss man den "umständlichen" Weg über die partielle Integration machen?
Mir würden im Moment nur die beiden Möglichkeiten einfallen, evtl. könnte man noch was transformieren, dadurch würde es aber nicht unbedingt einfacher werden...
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Integrate schrieb:
\par z=x+iy\; \par \Re \{z\} = x = \frac 1 2 (z + z^*)danke,
fubar wie kommst du auf das?
Aber wenn ihr noch keine komplexe Rechnung hattet, wird dir das wahrscheinlich auch nicht unbedingt helfen...