Pyramidenvolumen
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Hi
gibt es irgend eine einfache, logische Erklaerung dafuer, dass die Formel fuer das Pyramidenvolumen 1/3 * Hoehe * Grundflaeche ist?
(sorry wenn die Frage Unterstufen-Schulniveau hat
)
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nicht direkt, aber..
wenn du das Volumen eines Quaders nimmst (Grundfläche mal Höhe) und dann die Pyramide ausschneidest aus dem Quader, kannst du die übrigen Volumina errechnen, und ich wette mit nen bissl umstellen kommste dann auf deine Gleichung.cu
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Ich versuchs mal.
Als erstes stell Dir einen Würfel (mit Seitenlänge a) vor. Suche Dir eine der 8 Ecken aus, und zeichne die 3 Seitendiagonalen und die Raumdiagonale ein, die durch den Punkt gehen. Auf die Art hast Du den Würfel in 3 Pyramiden zerschnitten. Jede Pyramide mit quadratischer Grundfläche und Höhe = Seitenlänge, deren Spitze genau über einem Eckpunkt der Grundfläche liegt, hat also das Volumen
V = 1/3 * a^3 = 1/3 * a^2 * a = 1/3 * a^2 * hSo, jetzt werd ich der Reihe nach versuchen, diese Beschränkungen aufzuheben:
Warum muss die Spitze der Pyramide nicht über einer Ecke liegen? Stell Dir vor, die Pyramide wäre in viele ganz dünne Scheiben eingeteilt. Diese Scheiben kann man verschieben, ohne dass sich das Volumen des gesamten Gebildes ändert.
(Habt ihr beim Dreieck eventuell eine ähnliche Konstruktion gemacht?)Was passiert, wenn man die Höhe ändert?
Das ganze ist ja nur 'ne Streckung, d.h., wenn man beispielsweise die Höhe verdoppelt, verdoppelt sich auch das Volumen.
Zwischenergebnis:
Jede Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat das Volumen
V = 1/3 * a^2 * h
(wobei a die Seitenlánge des Quadrats, h die Hóhe ist)Was passiert jetzt, wenn man die Grundfläche ändert? Hier zerschneiden wir wieder die Pyramide in kleine Teile, die wir neu zusammensetzen. Nur sind es diesmal kleine Teil-Pyramiden, die jeweils die gleiche Höhe wie die ursprüngliche haben. Wenn diese nur klein genug sind, können wir daraus jede andere Pyramide (auch mit nicht-quadratischer Grundfläche) erzeugen - die Grundfläche bleibt gleich (nur die Form ändert sich), die Höhe bleibt gleich, das Volumen bleibt gleich.
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Für alle, die sich das räumlich nicht so recht vorstellen könenn, hier ein einfacher Beweis durch Integration:
Sei H die Höhe der Pyramide und G ihre Grundfläche.
Sei F(h) die Schnittfläche der (auf den Kopf gestellten) Pyramide in der Höhe h: F(h) = G * (h/H)²
Pyramidenvolumen V = ∫[0, H](F(h))dh = ∫[0, H](G * (h/H)²)dh = G / H² * [1/3 h³]0,H = 1/3 G * H
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Krösus schrieb:
Für alle, die sich das räumlich nicht so recht vorstellen könenn, hier ein einfacher Beweis durch Integration:
"Auf Unterstufenniveau" :p
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Wenn Du das Integral vermeiden willst, dann teile die Pyramide in N Scheiben.
Eine Scheibe hat die Höhe H/N und die die Grundfläche G * (k/N)², wobei k die Nummer der Scheibe angibt, gerechnet von der Spitze an.
Somit ist das Volumen der Scheibe Nummer k: V(k) = G * (k/N)² * H/N = G * H / N³ * k².
Das Volumen der Pyramide ergibt sich als Summe der Volumina aller Scheiben:
V ≈ Summe[k=1 bis N](V(k)) = Summe[k=1 bis N](G * H / N³ * k²) = G * H / N³ * Summe[k=1 bis N](k²)
Formelsammlung: Summe[k=1 bis N](k²) = (2 N³ + 3 N² + N) / 6
Damit V ≈ G * H / N³ * (2 N³ + 3 N² + N) / 6 = G * H * (2 + 3/N + 1/N²) / 6
Jetzt machen wir die Unterteilung unendlich klein und lassen N gegen unendlich gehen, dann wird 3/N und 1/N² jeweils Null. Aus dem ≈ wird dann ein echtes =!!!
Somit haben wir V = G * H * (2 + 0 + 0) / 6 = G * H / 3
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Der entscheidende Trick war das Ausrechnen der Summe über k².
Wie kommt man auf diese Formel?
Man vermutet zunächst, daß die Summe ein Polynom dritten Grades (in N) ist.
Also setzt man einfach mal ein paar Werte ein:
(I) N = 0 ==> Summe = 0 (Anm.: N=0 ist erlaubt wegen Summe[k=1 bis N](k²) = Summe[k=0 bis N](k²))
(II) N = 1 ==> Summe = 1
(III) N = 2 ==> Summe = 1 + 4 = 5
(IV) N = 3 ==> Summe = 1 + 4 + 9 = 14
WENN es wirklich ein Polynom dritten Grades ist, DANN haben wir hier vier Gleichungen für die vier Koeffizienten a, b, c und d des Polynoms a N³ + b N² + c N + d.
Also:
(I) a 0³ + b 0² + c 0 + d = 0 ==> d = 0
(II) a 1³ + b 1² + c 1 = 1 ==> a + b + c = 1
(III) a 2³ + b 2² + c 2 = 5 ==> 8 a + 4 b + 2 c = 5
(IV) a 3³ + b 3² + c 3 = 14 ==> 27 a + 9 b + 3 c = 14
(III) - 2 * (II):
(V) 8 a + 4 b + 2 c - 2 a - 2 b - 2 c = 5 - 2 ==> 6 a + 2 b = 3
(IV) - 3 * (II):
(VI) 27 a + 9 b + 3 c - 3 a - 3 b - 3 c = 14 - 3 ==> 24 a + 6 b = 11
(VI) - 3 * (V):
24 a + 6 b - 18 a - 6 b = 11 - 9 ==> 6 a = 2 ==> a = 1/3
4 * (V) - (V):
24 a + 8 b - 24 a - 6 b = 12 - 11 ==> 2 b = 1 ==> b = 1/2
Einsetzen in (II) ==> c = 1/6
Damit ist das Polynom gefunden.
WENN also die Summe ein Polynom ergibt, dann nur dieses.
DASS die Summe wirklich dieses Polynom ergibt, beweist man leicht mit vollständiger Induktion.
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Krösus schrieb:
Wenn Du das Integral vermeiden willst, dann teile die Pyramide in N Scheiben.
Jetzt machen wir die Unterteilung unendlich klein und lassen N gegen unendlich gehen...
Und was unterscheidet das jetzt genau von einem Integral?