Partialbruchzerlegung

fasti

http://www.bandlows.de/uni/pbz.htm

kurz: die gleiche nullstelle nochmal hinschreiben und daraus ein binom machen + zähler einer anderen variable zuweisen

Hallo,

ich bekomme irgendwie keine Lösung
(ich dachte das geht immer)

Also:

(x^3+2x^2+2)/(x^4 + 2x^2)

1. Nullstellen bestimmen:  0  ist doppelte Nullstelle

(x^3+2x^2+2)/((x^2) * (x^2 + 2))

Auf den Hauptnenner erweitern
2.(x^3+2x^2+2)/(x^4 + 2x^2) = A/(x^2) + B/(x) + C/(x^2 + 2)   

Mit Hauptnenner multiplizieren
3.(x^3+2x^2+2) = A*(x^2+2) + B *(x^2 + 2) * x + C *(x^2)  

Klammern auflösen
4. (x^3+2x^2+2) = A*(x^2+2) + B *(x^3 + 2x) + C *(x^2) 

5. Koeffizienten notieren
(x^3+2x^2+2) =  A*(0x^3 + 1x^2 + 0x + 2)
               +B*(1x^3 + 0x^2 + 2x + 0)
               +C*(0x^3 + 1x^2 + 0x + 0)

Koeffizientenmatrix:

     A    B    C
x^3  0    1    0   =    1
x^2  1    0    1   =    2
x^1  0    2    0   =    0
x^0  2    0    0   =    2

Diese Matrix hat aber keine Lösung

Habe ich mich verrechnet oder kann man keine Partialbruchzerlegung hier durchführen?

fubar

$\frac {x^3+2x^2+2} {x^4 + 2x^2} = \frac A {x} + \frac B {x^2} + \frac {Cx+D} {x^2 + 2}$ wäre hier der richtige Ansatz!

Edit: Unsinn entfernt!

Hallo,

warum, muß ich dass Cx + D genau beim x^2 + 2 als Zähler wählen und nicht beim z.B x^2 also (Ax + / (X ^ 2) ?

Kannst du mir eine allgemeine Regel nennen was man machen muß, wenn man bei der Partialbruchzerlegung zu wenige Gleichungen erhält?

fubar

MisterX schrieb:

Kannst du mir eine allgemeine Regel nennen was man machen muß, wenn man bei der Partialbruchzerlegung zu wenige Gleichungen erhält?

Gleich den richtigen Ansatz wählen!
Hier die allgemeine Regel:

\textbf{Partialbruchzerlegung:} \\ \newline

Gegeben sei eine gebrochen rationale Fkt.
$ f(x) = \frac {p(x)} {q(x)} $ mit \
$ grad; p = n < m = grad; q$ (ansonsten Polynomdivision). \
\newline
Zerlege das Nennerpolynom q(x) in Faktoren der Form: \
$ (x-a)^k, wenn a k-fache reelle NST von q(x) ist\\ ((x-a)^2+b2)^k$, wenn $a \pm ib$ k-fache komplexe NST von q(x) ist\
\newline

\begin{tabular}{c|c}
NST&Ansatz\\hline\
$ (x-a)^k $ & $\frac{A\_1} {x-a} + \frac{A\_2} {(x-a)^2} + ... + \frac{A_k} {(x-a)^k}$ \ \
$ ((x-a)^2+b2)^k $ & $\frac{B\_1x+C\_1} {((x-a)^2+b^2)} + \frac{B\_2x+C\_2}{((x-a)^2+b^2)^2} + ... + \frac{B\_kx+C\_k} {((x-a)^2+b^2)^k}$ \
\\end{tabular}\
\newline
Ein Koeffizientenvergleich liefert ein LGS f"ur die $A_i, ; B_i ; C_i $.$ $

Danke,
aber ich verstehe noch nicht alles bei der Aufgabe

(x^3+2x^2+2^)/(x^4+2x^2)

Ich habe eine doppelte reelle Nullstelle (In meinem fall die 0)

Also: A/(x-o)^1 + B/(x-0)^2

Der Rest (außer die Nullstellen) ist x^2 + 2

Muß ich jetzt wirklich auch noch die Komplexen Nullstellen

-Wurzel 2 i und Wurzel 2 i betrachten ?

Das ist ne Aufgabe aus nem Schulbuch; das kann doch nicht so umständlich sein oder?

fubar

Hups, einmal zuviel! Hab anstatt zu editieren aus Versehen noch einmal gepostet

fubar

MisterX schrieb:

Der Rest (außer die Nullstellen) ist x^2 + 2

Muß ich jetzt wirklich auch noch die Komplexen Nullstellen

-Wurzel 2 i und Wurzel 2 i betrachten ?

Nein, mußt du nicht.

x^2 + 2 = (x-a)^2 + b^2$ \Rightarrow $a=0, \, b=\pm \sqrt 2$ Da aber a&b im den Berechnungen nicht wieder auftauchen, kannst du die Gleichung x^2 + 2 so lassen. Die allgemeine Darstellung sieht aber so aus.

Hallo,

kannst du mir die Aufgabe BITTE soweit ausrechnen, so dass ich nur noch das LGS lösen muss? (Als Beispiel)

fubar

$ $\frac {x^3+2x^2+2} {x^4 + 2x^2} = \frac A {x} + \frac B {x^2} + \frac {Cx+D} {x^2 + 2} $ \\ \newline $= \frac {Ax(x^2 + 2) + B(x^2 + 2)+(Cx+D)x^2} {x^4 + 2x^2} = \frac {(A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (2A)x + (2B)} {x^4 + 2x^2}

A+C=1
B+D=2
2A=0
2B=2
Das kann man noch schön im Kopf lösen...