Lösungen einer kubischen Gleichung?

Übrigens, es könnte ein Mißverständnis gegeben haben. Ich habe gefragt, wann kubische Gleichungen RATIONALE und nicht REELLE Lösungen besitzen.

SG1

Argh, sorry. Ich nehm alles zurück und behaupte das Gegenteil.

Also, ich würde dir mal vorschlagen, das selbst zu probieren, d.h. du setzt ein bruch a/b als Lösung für die Lösungsformel ein(a,b € N), und dann erhälst du direkt eine bedingung dafür, bzw die bedingung kann aufgespaltet werden.
Ob das wirklich für dich hilfreich ist, ist die andere frage....

Reverse_Input_Pruner

Ich geh von dem Link
http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/Cardano/FormelCardano.php
aus:
Wenn du einfach mal q² und p³ ausrechnest und dann schaust in welcher Abhängigkeit q²+p³ < 0 ist.
Ich hab es (noch) nicht nachgerechnet, aber vielleicht merkst du, wenn du es auflöst soetwas wie: b > c + 14a - d. Immerhin hast du dann geklärt, wann es KEINE komplexen Lösungen gibt.
Mehr fällt mir noch nicht ein.

Also ,ich habe es noch einmal probiert, aber eure Vorschläge helfen mir bisher nicht so richtig weiter.
Das Problem ist folgende:
Die kardanische Formel stellt im Grunde die Differenz zwischen zwei Kubikwurzeln dar, wobei in jede Kubikwurzel noch eine Quadratwurzel enthalten ist.In vielen Fällen sind diese Quadratwurzeln und Kubikwurzeln zwar irrational, aber die Differenz zwischen den beiden Kubikwurzeln ist dann wie auf eine magische Weise rational, und damit ist die Lösung der entsprechende kubischen Gleichung auch rational.Wie kommt das bloß? Und wie kann man anhand der Köffizienten der kubischen Gleichung erkennen, ob dieser Fall nun eintritt oder nicht? Das war schon von Anfang an meine Frage gewesen, wär schön, wenn noch jemand einen Beitrag dazu leisten könnte.

Also ,ich habe es noch einmal probiert, aber eure Vorschläge helfen mir bisher nicht so richtig weiter.
Das Problem ist folgende:
Die kardanische Formel stellt im Grunde die Differenz zwischen zwei Kubikwurzeln dar, wobei in jede Kubikwurzel noch eine Quadratwurzel enthalten ist.In vielen Fällen sind diese Quadratwurzeln und Kubikwurzeln zwar irrational, aber die Differenz zwischen den beiden Kubikwurzeln ist dann wie auf eine magische Weise rational, und damit ist die Lösung der entsprechende kubischen Gleichung auch rational.Wie kommt das bloß? Und wie kann man anhand der Köffizienten der kubischen Gleichung erkennen, ob dieser Fall nun eintritt oder nicht? Das war schon von Anfang an meine Frage gewesen, wär schön, wenn noch jemand einen Beitrag dazu leisten könnte.

Also ,ich habe es noch einmal probiert, aber eure Vorschläge helfen mir bisher nicht so richtig weiter.
Das Problem ist folgende:
Die kardanische Formel stellt im Grunde die Differenz zwischen zwei Kubikwurzeln dar, wobei in jede Kubikwurzel noch eine Quadratwurzel enthalten ist.In vielen Fällen sind diese Quadratwurzeln und Kubikwurzeln zwar irrational, aber die Differenz zwischen den beiden Kubikwurzeln ist dann wie auf eine magische Weise rational, und damit ist die Lösung der entsprechende kubischen Gleichung auch rational.Wie kommt das bloß? Und wie kann man anhand der Köffizienten der kubischen Gleichung erkennen, ob dieser Fall nun eintritt oder nicht? Das war schon von Anfang an meine Frage gewesen, wär schön, wenn noch jemand einen Beitrag dazu leisten könnte.

camper

aus dem fundamentalsatz der algebra folgt:

besitzt eine algebraische (also auch kubische) gleichung nur rationale lösungen, so sind in der normalform auch alle koeffizienten rational.
verschärft: besitzt eine algebraische lösung nur rationale lösungen, so besitzt sie eine ganze lösung gdw. alle koeffizienten ganz sind, und dann sind alle lösungen ganz.

notwendig, damit alle lösungen rational (bzw. ganz) sind, ist also, dass in normalform alle koeffizienten rational (bzw. ganz) sind.

praktisch relevant is das eigentlich nur, wenn nur ganze lösungen existieren, da sie alle teiler des absoluten gliedes sein müssen. bei kleinen koeffizienten kann man hier durch primfaktorenzerlegung schnell alle fälle durchprobieren.

man stellt noch fest, dass bei rationalen koeefizienten reelle lösungen offensichtlich nie allein auftreten können; hat man also zwei rationale lösungen, so muss auch die dritte rational sein.

im falle von irrationalen koeffizienten wird man kaum praktikable bedingungen für die existenz rationaler lösungen finden, da ist das direkte lösen einfacher

Meine Frage bezüglich der rationale Lösungen einer kubischen Gleichung bezieht sich nur auf den Fall, dass die entsprechende Gleichung nur rationale Köffizienten besitzt.Denn der bereits erwähnte Fundamentalsatz der Algebra ist zwar notwendig, aber immer noch nicht hinreichend,--auch wenn alle Köffizienten einer kubischen Gleichung rational sind, so heißt das noch lange nicht, dass die Gleichung nur rationale Lösungen besitzt.Wie kann man es also an einer Gesetzmäßigkeit erkennen?

Jester

Ich fürchte da wird sich nicht viel machen lassen. Nur wenn Du noch weiter einschränken kannst auf normierte Polynome mit ganzrationalen Koeffizienten sehe ich wirklich ne Chance was vernünftiges zu finden.

MfG Jester