einfache Frage zu Extremwert mit Nebenbedingung

Ingo

Eine einfache Frage: Ich möchte die Höhe, Breite und Tiefe eines Rechtecks dergestalt ermitteln, dass es genau 1 Liter Volumen aufnimmt und die Oberfläche minimal ist. Man hat aber leider 3 Variablen: Breite, Höhe und Tiefe. Es gilt ja:
V = b * h * t
O = 2*b*h + 2*t*h + 2*b*t
Da V = 1 Liter ist, kann ich eine Variable ersetzen, es bleiben aber zwei übrig. Mit meinen Kenntnissen kann ich das Problem nur lösen, indem ich die Einschränkung vornehme, dass die Grundfläche quadratisch ist, also Breite = Tiefe gilt. Dann reduziere ich das Problem letzendlich auf eine Variable und kann ableiten.
Wie gehe ich aber hier vor?
Danke.

Maxi

weiß nicht, obs so geht, aber versuchs mal so:

du setzt eine unbekannte erstmal als konstant an, und rechnest dann die andere Varibale aus, was die für nen Wert haben muss (inm Abhängigkeit von der anderen Variable, also zB b = 2a, wobei a erstmal konstant angenommen wurde). Jetzt setzt du die eben errechnet varibale konstant auf den errechneten Wert und rechnest die zweite aus. kA ob das funktionieren könnte.

da du von nem volumen redest, denke ich jetzt einfach mal, daß du da mit einem quader rumhantierst...

nun zur lösung des problems (hoffe ich, wäre mein gedanklicher ansatz gewesen): versuch, zwei kantenlängen durch die dritte auszudrücken, also einfach breite und höhe als vielfaches der länge.

Ingo

Ich meinte natürlich ein Quader, wie konnte ich nur so einen Blödsinn wie Rechteck schreiben ...

Ok, ich werde mich mal mit euren beiden Vorschlägen auseinander setzen. Wobei dein Vorschlag, scrub, mich noch etwas ratlos zurücklässt. Wie kann ich denn Breite und Höhe als Vielfaches der Länge ausdrücken, wenn nichts über die Größen bekannt ist?

gegeben sind h, b und t.

deine grundgröße sei jetzt h.
also gilt: $b = \lambda \cdot h$ und $t = \tau \cdot h$ .

jetzt stellst du damit die gleichungen für oberfläche und volumen neu auf.
außerdem hab ich doch gesagt, es ist ein ansatz-> kein anspruch auf vollständigkeit/richtigkeit.

so, hab jetzt mal weitergerechnet...

die bereits angesprochene umrechnung der beiden anderen längenangaben führt zu folgendem:
$O = 2a^2\cdot(\lambda + \lambda\cdot\tau + \tau)$
und
$\frac{V}{\tau\cdot a^3} = \lambda$

letztendlich: $O = 2(\sqrt{V\cdot a} + \frac{V}{a} + \frac{V}{a^3}\cdot\sqrt{V\cdot a})$

Also setzen wir ein: $V = 1dm^3$
das führt zu $O = 6dm^2$

Ingo

Danke.

Das Ergebnis lautet eh, dass länge=höhe=breite weil man sich so der idealen Form (Kugel) am besten annähert.

GErner. schrieb:

Das Ergebnis lautet eh, dass länge=höhe=breite weil man sich so der idealen Form (Kugel) am besten annähert.

ja, das war mir auch klar. aber wir wollen hier nicht irgendwelche behauptungen aufstellen und sie im nachhinein verifizieren, sondern gleich etwas konkretes herleiten.