potenzen mit nicht-ganzzahligem exponenten ohne Taschenrechner lösen?

[otze]

wie kann man zb 3^2,65 ohne Taschenrechner lösen? gibts da ein bestimmtes verfahren für?

[volkard]

otze schrieb:

wie kann man zb 3^2,65 ohne Taschenrechner lösen? gibts da ein bestimmtes verfahren für?

3² * 3^2,65
9 * 20-ste wurzel aus 3¹³
9 * 20-ste wurzel aus 3¹³

aber die 20. wurzel aus 1594323 ohne taschenrechner zu finden ist nicht gerade leicht.

[otze]

ich such halt das verfahren,halt sowas wie die taylor-reihe für sinus/cosinus^^

[Fischi]

volkard schrieb:

otze schrieb:

wie kann man zb 3^2,65 ohne Taschenrechner lösen? gibts da ein bestimmtes verfahren für?

3² * 3^2,65
9 * 20-ste wurzel aus 3¹³
9 * 20-ste wurzel aus 3¹³

aber die 20. wurzel aus 1594323 ohne taschenrechner zu finden ist nicht gerade leicht.

Naja, für die 20.Wurzel von y kann er jetzt ja das Newton - Verfahren verwenden.

Setze f(x) = x^20 - y.
Die Nullstelle der Funktion ist die gesuchte Wurzel.
Also mit Newtonverfahren iterieren

x(k+1) = x(k) - (x(k)^20-y) / (20*x(k)^19)

x^19 kann man schriftl. ausrechnen (wenns vielleicht auch einen Moment dauert)

Etwas weniger aufwendig könnte folgender Ansatz sein:

y^x = e^[x*ln(y)]

Für ln(x) gibt es eine Reihenentwicklung:

ln((1+x)/(1-x)) = 2x + (2/3)x^3 + (2/5)x^5 + (2/7)x^7 + ...

und für e^x gibt es auch eine ähnliche Reihenentwicklung:

e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + (1/24)x^4...

Viele Grüße
Fischi

[otze]

also fassen wir mal zusammen(bin im moment etwas langsam^^)

a^b=e^b*ln(a)

e ist die eulersche zahl, die zu berechnen ist zum glück nicht so schwer(brauch sie nur als bruch, bzw darf sie nicht als dezimal bruch haben,fragt nicht wieso^^).
den natürlichen logarithmus werd ich auch noch irgendwie gebacken bekommen, auch hier darfs aber wieder kein dezimalbruch sein.

aber mal als frage:
beist sich die katze nicht in den schwanz, wenn b*ln(a) wieder nicht ganzzahlig ist? oder passiert das nicht?

//edit ich versuch das mal mit latex aufzudröseln^^

a^b=\sum_{n=0}^\infty \frac{(b\*2\*\sum_{k=0}^l \frac{(a-1)^{2k+1}}{(2k+1)*(a+1)^{2k+1}})^n}{n!}

und beim versuch des auflösen von ln versagt latex...schade^^
//edit 2 nun hats latex gepackt..bis aufs 2. summenzeichen^^
was aber nicht heissen soll, dass ich alles verstanden hab, was ich da geschrieben hab^^

[scrub]

ne, dir sind ja oben mehrere varianten angeboten worden. beides brauchst du nie gleichzeitig...

das ist nur lösbar, wenn du für natürliche exponetial- und logarithmusfunktion und für die eulersche zahl die reihenentwicklungen anwendest, wobei du die algorithmisch, also mit endlich vielen schritten, auf einen endwert bringst.

z. b. gilt ja $e = \lim\limits_{x->\infty}{\left(x + \frac{1}{x}\right)}^x$
jetzt mußt du dir halt ne genauigkeit aussuchen (also ne bestimmte zahl x), und dann hast du von allen reihen einen fixen wert.