4. 1+2+3+4+5+6+...+n

1+2+3+4+5+6+...+n

  • T

    Mal ne kleine Frage an alle Mathe leitungkursler:

    Und zwar... ich habe folgendes :1+2+3+4+...+n1+2+3+4+...+n das ist dann n/2∗(n+1)n/2*(n+1).

    Oder bei diesem:12+22+32+42+....+n21^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2
    läßt sich das dazu zusammenfassen:

    (n∗(n+1)∗(2n∗+1))(n*(n+1)*(2n*+1))
    (hab ich von meinem Lehrer)

    Nun geht es mir darum das ganze allgemein zu machen; für:
    1k+2k+3k+....+nk)1^k+2^k+3^k+....+n^k)

    Mir würde es eigentlich schon reichen wenn ihr mir sagt wie man diese Problematik nennt damit ich weiß wonach ich googlen muß...

    0
  • ?

    das sind alles summenformeln. das googeln nach "summenformel" überschwemmt dich aber leider mit chmie-sachen. mußt halt das richtige rausfischen.

    0
  • F

    Also, wenn ich mich nicht irre, müsste allgemein folgendes gelten:

    ∑j=1njk=∫_0nxkdx+∑_i=0n−1(∫ii+1(i+1)k−xkdx)\sum\limits_{j = 1}^n {j^k = } \int\limits\_0^n {x^k dx} + \sum\limits\_{i = 0}^{n - 1} {\left( {\int\limits_i^{i + 1} {\left( {i + 1} \right)^k - x^k dx} } \right)}

    Man beachte:

    Die Summe auf der rechten Seite sollte nur Potenzen kleiner k enthalten,
    so dass man die gesamte Formel rekursiv aufdrösseln kann.

    [EDIT] Beispiel für k=2

    \[ \begin{array}{l} \sum\limits_{j = 1}^n {j^2 = } \int\limits\_0^n {x^2 dx} + \sum\limits\_{i = 0}^{n - 1} {\left( {\int\limits_i^{i + 1} {\left( {i + 1} \right)^2 - x^2 dx} } \right) = } \\ \frac{1}{3}n^3 + \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left[ {\left( {i + 1} \right)^2 x - \frac{1}{3}x^3 } \right]_i^{i + 1} } = \\ \frac{1}{3}n^3 + \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left( {\left( {i + 1} \right)^3 - \frac{1}{3}\left( {i + 1} \right)^3 - \left( {i + 1} \right)^2 i + \frac{1}{3}i^3 } \right)} = \\ \frac{1}{3}n^3 + \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left( {\frac{2}{3}\left( {i + 1} \right)^3 - i^3 - 2i^2 - i + \frac{1}{3}i^3 } \right)} = \\ \frac{1}{3}n^3 + \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left( {\frac{2}{3}i^3 + 2i^2 + 2i + \frac{2}{3} - i^3 - 2i^2 - i + \frac{1}{3}i^3 } \right)} = \\ \frac{1}{3}n^3 + \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left( {i + \frac{2}{3}} \right)} = \frac{1}{3}n^3 + \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {i - \frac{1}{3}} \right)} = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n\left( {n + 1} \right) - \frac{1}{3}n \\ = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n \\ \end{array} \]

    Das Ergebnis ist also die bekannte Summenformel für die Quadrate.
    Allerdings benötigt man Kenntnis der Summenformel für k=1.

    Viele Grüße
    Fischi

    0
  • ?

    problematik heißt:
    Differnezengleichungen
    Differnzen und Summenoperator sind Gegenspieler wie beim integrieren und diffen.

    0
  • ?

    nützt dir das was?
    http://www.matheboard.de/lexikon/Gaußsche_Summenformel,definition.htm
    wird allgemein als gaußsche summenformel bezeichnet, für abwandlungen dieser art kannst du anhand des stichwortes google mal bemühen.

    0
  • S

    Die Gausssche Formel steht doch schon im ersten Posting...

    0
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