4. [physik] Brett an Seilen

[physik] Brett an Seilen

  • S

    es gibt unendlich viele brettpositionen, die die oben genannte erste bedingung erfüllen.
    jetzt mußt du nur noch aus der zweiten bedingung ein geeignetes kriterium entwickeln, und schon bleibt von unendlich vielen lösungen nur noch eine übrig.

    dazu mußt du dir zuerst überlegen, wie du den schwerpunkt des bretts erfassen könntest.

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  • C

    es sind nat. noch ein paar randbedingungen zu beachten:

    seien a und b die seillängen, r die länge des brettes und x der abstand der aufhängepunkte

    offenbar muss gelten: a+b+r >= x und a+b+x >= r
    (die extremfälle a+b+r = x und a+b+x = r würde ich ausschliessen, dann gibts es ohnhin nur eine mögliche lage, also ist die aufgabe sofort gelöst )

    ausserdem ist für (a+r)^2 + x^2 <= b^2 und (b+r)^2 + x^2 <= a^2 klar, dass hier die lotrechte lage vorliegt, auch dass muss ausgeschlossen werden, um vernünftig rechnen zu können (bzw. müssen 😉

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  • S

    was für aufhängepunkte meinst du? die stellen, an denen die seile befestigt sind?
    wieso muß dann gelten a + b + x >= r ?!? eher doch <= r , es sei denn, ich bin grad völlig durcheinander...

    frage an die forum-cheffes: ist hier im latex auch die picture- umgebung verfügbar? ach scheiß, ich probiers einfach...

    \mbox{\begin{picture}(150,150) \put(75,0){\line(0,1){150}} \put(0,75){\line(1,0){150}} \multiput(74,0)(0,5){31}{\line(1,0){2}} \multiput(0,74)(5,0){31}{\line(0,1){2}} \put(75,75){\line(2,1){40}} \end{picture}}

    oh wow, es geht! sieht zwar irgendwie nicht so ganz wie gedacht aus, aber es geht!!!

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  • C

    naja, das brett darf ja wohl nicht länger als die länge der seile + abstand der aufhängungepunkte sein, sonst sind die seile zu kurz, analog dürfen diese punkte nat. auch nicht zu weit auseinander sein

    das er gibt dann folgendes gleichungssystem:

    mit Seil a: aufhaengung in ( 0, 0 ), Ende in ( x\_a, y\_a ) Seil b: aufhaengung in ( x, 0 ), Ende in ( x\_b, y\_b ) Geometrie: x\_a^2 + y\_a^2 = a^2 (x-x\_b)^2 + y\_b^2 = b^2 (x\_a-x\_b)^2+(y\_a-y\_b)^2 = r^2 man kann sich noch leicht ueberlegen, dass {x_a}\le{x} {x_b}\ge{0} {y_a}\le{0} {y_b}\le{0} man kennt also die vorzeichen von drei Groessen, es bietet sich daher an, nach x_a aufzuloesen, so vermeidet man doppelloesungen, und es wird Physik: (mit obigen randbedingungen) \begin{displaymath} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x\_a}( m\_a y\_a + m\_b y\_b )|\_{x\_a=x\_{min}} = 0 \end{displaymath} m\_a, m\_b \mbox{ sind die wichte um die lage des schwerpunkts zu bestimmen,} im falle eines homogene bretts sind sie nat. 1/2
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  • G

    Um dem noch etwas hinzu zufügen:

    [kann kein latex]

    die Formel (Xa - Xb)^2 + (Ya - Yb)^2 = r^2 läßt sich unter der Voraussetzung, dass r senkrecht zur Y-Achse ist, zu (Xa -Xb)^2 = r^2 vereinfachen...oder die Formel ist unrichtig 😃

    [/kann kein latex]

    @camper
    So leid es mir tut, aber ich kann Dein letztes Differential nicht ableiten und wenn ich es doch tue kommt 1=0 raus!
    Ich erbitte eine weitergehende Erklärung. 🙂
    Danke!

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  • B

    1. der Fall tritt aber nur ein wenn die Seile gleichlang sind.
    dann hat man aber ein schönes Trapez und das Rechnen ist einfach.
    2. Das differenzial sagt nur aus der sich der Schwerpunkt des Brettes an der Position mit der geringsten Potentielen Energie befindet.
    dies ist eine Nebenbedingung um die Loesung eindeutig zu bekommen.
    Ansonsten ist es moglich alle Pnkte auf dem Kreis r1=Seillänge_1 und alle Punkte auf dem Kreis r1=Seillänge_2 zu verbinden für welche gild, das ihr Abstand gleich Länge Brett ist.
    man muss noch beachten, dass der Brettschwerpunkt sich nicht tiefer als min(Länge_S1,Länge_S2)+Länge_brett/2 befinden kann.

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  • C

    @b7f7: letzteres nur, wenn der schwerpunkt in der mitte des bretts ist 😉 - die bedingungen, dass kein seil zu lang, und das brett weder zu kurz, noch zu lang ist muss man ohnehin vorher überprüfen; sonst gibts probleme beim differenzieren.

    @globalplayer: ya, yb und xa sind ja nicht unabhängig, gemäss der ersten drei gleichungen kannst du ya und yb als funktionen von xa betrachten - und dann wird das differential ganz sicher nicht immer null 🙂

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  • ?

    Ich krieg das einfach nicht nach Xa aufgelöst 😕
    bin langsam echt am verzweifeln.. kann wenn ich zeit hab mal mein bisheriges ergebnis posten, müsste mich dazu aber auch noch in latex einarbeiten..

    Mfg

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  • C

    x_a2+y_a2=a2x\_a^2+y\_a^2=a^2
    (x−x_b)2+y_b2=b2(x-x\_b)^2+y\_b^2=b^2
    (x_a−x_b)2+(y_a−y_b)2=r2(x\_a-x\_b)^2+(y\_a-y\_b)^2=r^2

    1'y_a=−a2−x_a2y\_a=-\sqrt{a^2-x\_a^2}
    2'y_b=−b2−x2+2xx_b−xb2y\_b=-\sqrt{b^2-x^2+2xx\_b-x_b^2}
    3 - 1 - 2:
    3'−x2+2xx_b−2x_ax_b−2(a2−x_a2)(b2−x2+2xx_b−x_b2)=r2−a2−b2-x^2+2xx\_b-2x\_ax\_b-2\sqrt{(a^2-x\_a^2)(b^2-x^2+2xx\_b-x\_b^2)}=r^2-a^2-b^2
    3''4(a2−x_a2)(b2−x2+2xx_b−x_b2)=(r2−a2−b2+x2+2(x_a−x)xb)24(a^2-x\_a^2)(b^2-x^2+2xx\_b-x\_b^2)=(r^2-a^2-b^2+x^2+2(x\_a-x)x_b)^2
    3'''

    4(a2−x_a2)(b2−x2)+8(a2−x_a2)xx_b−4(a2−x_a2)xb2=(r2−a2−b2−x2)2+4(r2−a2−b2+x2)(x_a−x)x_b+4(x_a−x)2x_b24(a^2-x\_a^2)(b^2-x^2)+8(a^2-x\_a^2)xx\_b-4(a^2-x\_a^2)x_b^2= (r^2-a^2-b^2-x^2)^2+4(r^2-a^2-b^2+x^2)(x\_a-x)x\_b+4(x\_a-x)^2x\_b^2

    (a2+(x−2x_a)x)x_b2+((r2−a2−b2−x2)(x_a−x)+2(x_a2−a2)x)xb+(r2−a2−b2−x2)2+(xa2−a2)(b2−x2)=0(a^2+(x-2x\_a)x)x\_b^2+((r^2-a^2-b^2-x^2)(x\_a-x)+2(x\_a^2-a^2)x)x_b+ (r^2-a^2-b^2-x^2)^2+(x_a^2-a^2)(b^2-x^2)=0

    ich hoffe das hilft, schau aber lieber noch nach rechenfehlern, bin ein bisschen eingerostet, vermutlich gibt es sowieso einen eleganteren weg.

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  • ?

    Dann war das was ich hatte ja sogar richtig 🙂 aber das reicht doch noch nicht, oder? ich muss die Gleichung doch komplett nach Xa auflösen, damit ich Xb als Funktion von Xa schreiben kann?!

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