Vollständige Induktion

mata

Hallo Zusammen.

hab hier folgende Aufgabe:

$n! \leq (\frac{n}{2})^n$

Ab wann gilt dies, und dann Beweis. Gelten tuts ab n=6. Also:

Ind-Anf:
n=6: $n! = 720 \leq 729=(\frac{6}{2})^6$

Ind-Vor:
$n! \leq (\frac{n}{2})^n$

Ind-Beh:
$(n+1)! \leq (\frac{n+1}{2})^{n+1}$

Beweis (tja, hier weiß ich nicht so recht):
$(n+1)! = n!(n+1) \leq (\frac{n}{2})^n * (n+1) = \frac{n}{2}^n * \frac{n+1}{2}$ ...

hab keine ahnung, was mach ich falsch?

Dankeschön schonmal :).

Mata

Jester

Der letzt Schritt ist falsch:

$(\frac{n}{2})^n \neq \frac{n^n}{2}$

Im Prinzip mußt Du nur aus (n/2)^n ((n+1)/2)^n machen. Dabei mußt Du allerdings, damit es nicht zu groß wird noch einen Faktor 1/2 dazukriegen. Das zu machen sollte allerdings kein Problem sein, da das erhöhen von n um 1 die Potenz sicher mehr als verdoppelt.

MfG Jester

So wie du das formal hinschreibst, ist das zwar richtig, sehr häufig
ist es aber einfacher den "schwierigen" Teil in den "einfachen"
überzuführen. Also wenn hier mit
((n+1)/2)^(n+1) anfängst, ist der naheliegenste nächste Schritt
((n+1)/2)^n * (n+1/2)
und schon steht die Lösung da.

Jockel