4. Herleitung diverser Formeln des Erwartungswertes

Herleitung diverser Formeln des Erwartungswertes

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    hallöle !
    also gleich mal vorab, ich bin nicht unbedingt ein mathegenie, sonst würde ich diese frage nicht stellen. ich soll am montag in mathe an der tafel folgende formeln des erwartungswertes herleiten:
    1. E X = a für eine konstante Zufallsgröße X(w) = a
    2. E (X + Y) = E X + E Y
    3. E (a*X) = a * E X
    4. E (X*Y) = (E 😵 * (E Y)

    also meine frage, wie mach ich das, ich habe absolut null ahnung ?

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    Hi

    Wie habt ihr denn den Erwartungswert definiert (macht man in Schule und Uni ganz anders) und welche Voraussetzungen sind für die Zufallsvariablen gegeben (4 gilt i.A. nur wenn X und Y unabhängig sind) ?

    MfG, space

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    E(X) = die summe von xi * P(X = x) von i = 1 bis k ist die Definition bei uns

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    Na dann einfach einsetzen und ausrechnen.

    Sei also
    X:Ω→Ω′X : \Omega \rightarrow \Omega '
    eine ZV.

    Ω′={a}\Omega ' = \{ a \}
    also
    ∀ω∈Ω:X(ω)=a\forall \omega \in \Omega : X(\omega)=a

    Dann gilt für den Erwartungswert:
    E(X)=∑k∈Ω′k⋅P(X=k)=a⋅P(X=a)=aE(X) = \sum_{k \in \Omega '} k \cdot P(X=k) = a \cdot P(X=a) = a
    da die Bildmenge nur einelementig ist.

    2. Das ist schon wesentlich schwieriger. Erstmal seien
    X:Ω→Ω1′X : \Omega \rightarrow \Omega_1 '
    Y:Ω→Ω2′Y : \Omega \rightarrow \Omega_2 '
    Zufallsvariablen.

    Erstmal gilt, was wir weiter unten brauchen, mit der sigma-additivität:
    P(X=x)P( X=x )

    =P(X=x,Y∈Ω2′)= P(X=x,Y \in \Omega_2 ')

    =P(X=x,∪y∈Ω2′{Y=y})= P(X=x, \cup_{y \in \Omega_2 '} \{Y=y \} )

    =∑y∈Ω2′P(X=x,Y=y)= \sum_{y \in \Omega_2 '} P(X=x,Y=y)

    Analog erhält man

    P(Y=y)=∑x∈Ω1′P(X=x,Y=y)P( Y=y ) = \sum_{x \in \Omega_1 '} P(X=x,Y=y)

    Setzt man noch
    Ω′:=Ω_1′+Ω_2′\Omega ' := \Omega\_1 ' + \Omega\_2 '
    für die ZV
    X+Y:Ω→Ω′X+Y : \Omega \rightarrow \Omega '

    kann man die Behauptung zeigen:

    E(X+Y)=∑k∈Ω′k⋅P(X+Y=k)E(X+Y) = \sum_{k \in \Omega '} k \cdot P(X+Y =k)

    =∑k∈Ω′k⋅∑x+y=kP(X=x,Y=y)= \sum_{k \in \Omega '} k \cdot \sum_{x+y=k} P(X=x,Y=y)

    =∑k∈Ω′∑x+y=kk⋅P(X=x,Y=y)= \sum_{k \in \Omega '} \sum_{x+y=k} k \cdot P(X=x,Y=y)

    =∑x∈Ω_1′,y∈Ω_2′(x+y)P(X=x,Y=y)= \sum_{x \in \Omega\_1 ' , y \in \Omega\_2 '} (x+y)P(X=x,Y=y)

    = \sum_{x \in \Omega\_1 ' , y \in \Omega\_2 '} x \cdot P(X=x,Y=y) \+ \sum_{x \in \Omega\_1 ' , y \in \Omega\_2 '} y \cdot P(X=x,Y=y) = \sum_{x \in \Omega\_1 '} x \sum\_{ y \in \Omega_2 '} P(X=x,Y=y) \+ \sum_{y \in \Omega\_2 '} y \sum\_{x \in \Omega_1 '} P(X=x,Y=y)

    =∑x∈Ω_1′x⋅P(X=x)+∑_y∈Ω2′y⋅P(Y=y)= \sum_{x \in \Omega\_1 '} x \cdot P(X=x) + \sum\_{y \in \Omega_2 '} y \cdot P(Y=y)

    =EX+EY= EX + EY

    Hmm ich halte das für ziemlichen Overkill für einen Schüler. Naja.

    3. Ist nicht schwer. Probiers mal selbst.

    4. Jetzt nicht. Sag erstmal ob du obiges verstanden hast.

    Gruß, space

    EDIT: warum sind die latex-formeln immer noch kaputt ?

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  • habe dir mal noch eine seite aus dem skript aufgeschlagen, was mich grad "erschlägt", aber vielleicht kannst du damit was anfangen
    http://www.fernuni-hagen.de/www2bonsai/WTHEORIE/ds/node11.html#SECTION001100000000000000000

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    Unsinn. Hab übersehen, dass der letzte Beitrag von elise kam 🙂

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    also danke, aber ich muss jetzt erst mal versuchen, das alles zu verstehen.

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    Dann kannst du ja E(XY)=EX*EY auch mal selbst versuchen.
    Dabei kannst du dich an 2. orientieren und an einer Stelle ausnutzen, dass X und Y unabhängig sind (was man voraussetzen muss).

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