4. Extrempunkte mehrdimensionaler funktionen

Extrempunkte mehrdimensionaler funktionen

  • M

    Hi!

    Ich hab eine Funktion der Form
    f(x,y,z) = irgend ne errechnung

    und ich muss herausfinden, was diese für Extrempunkte hat. Wie kann man das am besten bewerkstelligen? Ableitung weiß0 ich leider nciht, wie man diese bildet. Und plotten kann ich die ja auch nicht, weil man ja nicht 3d-als definitionsbereich und 1 dimenstion werteberiech zeihcnen kann auf einmal, wärn ja dann 4 dimensionen.

    0
  • G

    Guck mal nach partieller Ableitung. Das sollte dir wohlmöglich helfen können.

    0
  • ?

    Hallo

    Wenn es eine Funktion der Form
    f:Rn−>Rf : \mathbb{R}^n-> \mathbb{R}
    ist, musst du erstmal die kritischen Punkte finden.

    Das sind die Punkte, für die der Gradient verschwindet. Wie im eindimensionalen ist das eine notwendige Bedingung, keine hinreichende.
    D.h. für z.B. n=3 musst du die Punkte finden, für die gilt:

    grad(f):=(∂f(x_1,x_2,x_3)∂x_1,∂f(x_1,x_2,x_3)∂x_2,∂f(x_1,x_2,x_3)∂x_3)=0grad(f) := ( \frac{ \partial f(x\_1,x\_2,x\_3)}{\partial x\_1} , \frac{ \partial f(x\_1,x\_2,x\_3)}{\partial x\_2}, \frac{ \partial f(x\_1,x\_2,x\_3)}{\partial x\_3} ) = 0

    Die auftretenden Ausdrücke nennt man partielle Ableitungen nach der jeweiligen Variablen. Will man partiell nach x_2 ableiten, d.h.
    ∂f(x_1,x_2,x_3)∂x_2\frac{ \partial f(x\_1,x\_2,x\_3)}{\partial x\_2}

    berechnen, geht man wie folgt vor: Man sieht alle auftretenden x_1 und x_3 als Konstante an und leitet mit den Regeln des eindimensionalen nach x_2 ab. Alle anderen Fälle und höhere Ableitungen erfolgen analog.

    Hat man alle kritischen Punkte gefunden, muss noch eine hinreichende Bedingung für Maxima bzw Minima geprüft werden.

    Ist also a:=(x_1,x_2,x_3) ein kritischer Punkt, bildet man dazu die Hesse-Matrix:

    H_f(a)=(∂2f(a)∂x_j∂xi)i,j=1,...,nH\_f(a) = ( \frac{ \partial ^2 f(a) }{ \partial x\_j \partial x_i }) i,j=1,...,n

    Diese besteht also einfach aus allen möglichen Kombinationen partieller Ableitungen zweiter Ordnung.

    Ist nun die Hesse-Matrix positiv (negativ) definit, hat man ein Minimum (Maximum) im Punkt a.
    Äquivalente Bedingung für positiv definit: Sind alle Hauptunterdeterminanten positiv, ist die Matrix positiv definit. Für negativ definit betrachtet man die negierte Matrix -H_f(a) und untersucht sie auf pos. def.heit.
    Die Hauptunterdeterminanten sind einfach die Determinanten der "Teilmatrizen" von Index (1,1) bis (j,j) (1<=j<=n), die man aus der Hesse-Matrix "rausschneidet".

    Wäre vielleicht sinnvoll wenn du dir Literatur besorgst und dann mit etwas konkreteren Fragen wiederkommst. Das Thema ist numnal sehr umfangreich.

    Gruß, space

    0
  • M

    hm...

    also, danke erstmal für deinen beitrag!

    ich verstehe die Zeile nicht:

    grad(f) := (...) = 0

    ist damit gemeint, dass die Ableitung von f null werden muss wie beim eindimensionalen?
    Wenn ja, wie bestimme ich dann die Ableitung der gesamten funktion, wenn ich die einzelnen partiellen ableitungen gebildet hab? Was hat die Klammer mit den 2 kommas zu bedeuten?
    und heißt das delte das d vom differenzieren?

    Gruß, Maxi

    edit:
    Hab noch ein wenig gefunden:
    das delta steht für partielle ableitung.

    http://www.cg.tuwien.ac.at/research/vis/seminar9596/1-math/diff.html
    das obere versteh ich noch, totales differential nicht mehr, aber ich denk mal das ist das was ich brauche. wo kommt da dann auf einmal dx her? versteh ich irgendwie nicht. in der Ableitung stehen dann ja immernoch dx und dy drin irgendwie...

    0
  • ?

    Hallo

    Scheint dich ja wirklich zu interessieren.
    Ich schreib (morgen) gern mehr dazu. Wäre aber hilfreich zu wissen, wie gut du dich mit der Differentialrechnung im eindimensionalen auskennst.
    Abi schon hinter dir?

    mfg, space

    0
  • M

    also, ja interessiert mich schon, muss da sone aufgabe mit lösen.

    nun, wie gut kenn ich mich mit diff-rechnung im eindimensionalen aus...
    11. Klasse hinter mir, da hatten wir das. Und ich hab glaub ich auch alles verstanden, ham jetzt Integralrechnung zum Teil hinter uns. Also mit Ableitungsregeln, Kurvendiskussion bin ich bis jetzt immer gut zurechtgekommen, nur eben mit dem mehrdimensionalen hatten wir inner schule nciht, und werden wir auch nicht haben, glaub ich. Also, solche Definitionen auf Uni-Niveau, ich glaub bei denen tu ich mich schwer, wir hatten zB für die Ableitung nur

    f'(x0)=lim_h->0 (f(x0+h)-f(x0)) / h

    keine Ahnung, obs da noch was komplizierteres für gibt.

    0
  • B

    Maxi schrieb:

    ich verstehe die Zeile nicht:

    grad(f) := (...) = 0

    ist damit gemeint, dass die Ableitung von f null werden muss wie beim eindimensionalen?

    So ungefähr.

    Wenn ja, wie bestimme ich dann die Ableitung der gesamten funktion, wenn ich die einzelnen partiellen ableitungen gebildet hab? Was hat die Klammer mit den 2 kommas zu bedeuten?

    Das ist einfach ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungen sind. Wenn dir das aus irgendeinem Grund nichts sagt, dann kannst du auch die kritischen Punkte als die ansehen, bei denen alle partiellen Ableitungen Null werden, das ist gleichbedeutend.

    0
  • M

    aha, also müssen alle ableitungen 0 werden, dann hat man schon (fast) einen EP gefunden. OK, werd ich mal ausprobieren.
    hinreichende Bedingung ist dann auch, dass die zweite Ableitung nicht 0 ist?
    Und der Vektor, welcher da gebildet wird, muss also eine Länge von 0 haben, oder?

    0
  • ?

    Hallo

    Hier ein Beispiel:

    f(x,y)=2x2+y2−xy−7yf(x,y) = 2x^2+y^2-xy-7y

    Dann bekommt man die folgenden partiellen Ableitungen:

    ∂f(x,y)∂x=4x−y\frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x} = 4x-y

    und

    ∂f(x,y)∂y=2y−x−7\frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y} = 2y-x-7

    Diese Symbole sind nur ne nützliche Schreibweise ohne tiefere Bedeutung.

    Andere Möglichkeiten sind:

    ∂f(x_1,...,x_n)∂x_i=∂f∂x_i(x_1,...,x_n)=∂∂x_if(x_1,...,x_n)=f_xi\frac{ \partial f(x\_1,...,x\_n) }{ \partial x\_i} = \frac{ \partial f }{ \partial x\_i}(x\_1,...,x\_n) = \frac{ \partial }{ \partial x\_i}f(x\_1,...,x\_n) = f\_{x_i}

    Der Gradient ist grade der Vektor der partiellen Ableitungen. In diesem Fall also

    grad(f(x,y))=(∂f(x,y)∂x,∂f(x,y)∂y)grad( f(x,y)) = ( \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x}, \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y} )

    und somit:

    grad(f(x,y))=(4x−y,2y−x−7)grad( f(x,y) )= ( 4x-y, 2y-x-7 )

    Die notwendige Bedingung war

    grad(f(x,y))=0grad( f(x,y)) = 0

    Mit 0 ist hier natürlich der Nullvektor gemeint. Wir Bashar schon schrieb kann man es also als Gleichungssystem auffassen:

    4x−y=04x-y = 0
    2y−x−7=02y-x-7=0

    Die Lösung davon ist

    x=1,y=4x=1, y=4

    Dieser Punkt heißt "kritisch" oder "stationär".

    Nochmal ein paar Anmerkungen.
    Partielle Ableitungen sind nicht das höherdimensionale Analogon zur Ableitung im eindimensionalen. Dafür gehen zu viele wichtige Eigenschaften verloren. Statt dessen gibt es den Begriff der totalen Ableitung. Für skalarwertige Funktionen mehrerer Parameter (die gewisse Bedingungen erfüllen, was hier vorausgesetzt sei), also Funktionen der Form

    f:Rn−>Rf: \mathbb{R}^n -> \mathbb{R}

    entspricht die totale Ableitung aber gerade ihrem Gradienten. Hier ist ein direkter Zusammenhang zum eindimensionalen. Dort gab es die notwendige Bedingung f'(x)=0, nun haben wir grad f(x)=0.

    Die hinreichende Bedingung über die zweite Ableitung (wobei es hier auch allgemeiner geht), wird im Höherdimensionalen etwas komplizierter.

    Oben wurde schon die Hesse Matrix erwähnt. Die braucht man jetzt aber erstmal nochwas zu höheren partiellen Ableitungen.

    Für zweite partielle Ableitungen schreibt man

    \frac{ \partial^2 f }{ \partial x\_i \partial x\_j } }(x\_1,...,x\_n) := \frac{ \partial f }{ \partial x\_i }( \frac{ \partial f }{ \partial x\_j }(x\_1,...,x\_n))

    Erst also nach x_j, dann nach x_i partiell Ableiten.

    Die Hesse Matrix hat nun folgende Gestallt:

    H_f(x_1,...,xn)=(∂2f(x_1,...,x_n)∂x_1∂x_1...∂2f(x_1,...,x_n)∂x_n∂x_1.....∂2f(x_1,...,x_n)∂x_1∂x_n...∂2f(x_1,...,x_n)∂x_n∂x_n)H\_f(x\_1,...,x_n)= \left( \begin {array}{ccc} \frac{ \partial^2 f(x\_1,...,x\_n) }{ \partial x\_1 \partial x\_1} & ... & \frac{\partial^2 f(x\_1,...,x\_n) }{ \partial x\_n \partial x\_1} \\ . & ... & . \\ \frac{\partial^2 f(x\_1,...,x\_n) }{ \partial x\_1 \partial x\_n} & ... & \frac{\partial^2 f(x\_1,...,x\_n) }{ \partial x\_n \partial x\_n} \end {array} \right)

    Für das obige Beispiel ergibt sich eine 2x2 Matrix. Erstmal die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

    ∂2f(x,y)∂x∂x=4\frac{ \partial^2 f(x,y) }{ \partial x \partial x} = 4

    ∂2f(x,y)∂y∂x=−1\frac{ \partial^2 f(x,y) }{ \partial y \partial x} = -1

    ∂2f(x,y)∂x∂y=−1\frac{ \partial^2 f(x,y) }{ \partial x \partial y} = -1

    ∂2f(x,y)∂y∂y=2\frac{ \partial^2 f(x,y) }{ \partial y \partial y} = 2

    Damit ist unsere Hesse-Matrix:

    Hf(x,y)=(4−1−12)H_f(x,y)= \left( \begin {array}{cc} 4 & -1 \\ -1 & 2 \end {array} \right)

    Die Einträge sind unabhängig von x und y was aber nur am Beispiel liegt und i.A. nicht so ist.

    Für die gefundenen Kritischen Punkte, also (x,y)=(1,4) im Beispiel, testet man ob die Hesse-Matrix H positiv definit ist. Wenn ja hat man ein Minimum.
    Ist -H positiv definit hat man ein Maximum.
    Da aber wie gesagt H bei uns unabhängig von den Parametern ist, braucht man nichts einzusetzen.

    Wie oben gesagt ist die Matrix positiv definit genau dann wenn alle Hauptunterdeterminanten positiv sind.

    Also erst die Determinante der Matrix selbst:

    ∣4−1−12∣=4⋅2−(−1)⋅(−1)=7\left| \begin {array}{cc} 4 & -1 \\ -1 & 2 \end {array} \right| = 4 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) = 7

    Hauptunterdeterminanten sind die Determinanten der "Teilmatrizen oben links", die man aus der Hesse Matrix "rausschneidet". Erst die ganze Matrix, dann die bei der lediglich die letzte Zeile und letzte Spalte weggenommen wurde und so weiter.
    Im Beispiel bleibt also nur noch die 1x1 Matrix oben links, also genau die Zahl 4. Die ist natürlich positiv.

    Also ist das hinreichende Kriterium erfüllt und (1,4) ist ein Minimun.

    Falls du nicht mit den Begriffen Matrix und Determinante vertraut bist, findest du im Netz sicher einiges dazu. Man braucht nicht viel drüber zu wissen um es in diesem Kontext anwenden zu können.

    Noch eine Kleinigkeit: Die totale Ableitung eines Gradienten ist grade die Hesse Matrix. Man kann es also als zweite Ableitung auffassen und es ist wieder dem eindimensionalen Fall sehr ähnlich. Da die zweite Ableitung aber eine Matrix ist, hat man die Begriffe positiv definit und negativ definit. Also alles nur verallgemeinert 🙂

    Gruß, space

    0
Anmelden zum Antworten