Aufgabe der Mathe-Olympiade

Hallo!Also, dies ist die erste Beispiel-/Qualifikationsaufgabe der diesmaligen
Mathe-Olympiade.Sie lautet:
Für die zwei rationale Zahlen a und b soll gelten: a-b=a/b
Finde alle Zahlenpaare dieser Art und stellt sie durch einen Term/Formel dar.
Meiner Meinung nach ist diese Aufgabe nicht lösbar, mir ist es bisher nicht gelungen ,eine solche Formel zu finden, die ALLE Zahlenpaare darstellen kann.Habt ihr vielleicht andere Vorschläge? Danke im voraus.

Griffin

Dann zeig mal deinen Term/Formel und ich (oder die anderen) sagen dir, ob sie richtig oder falsch ist und warum.

Aber wir werden hier bestimmt nicht deine Mathe Olympiade rechnen

otze

Griffin schrieb:

Dann zeig mal deinen Term/Formel und ich (oder die anderen) sagen dir, ob sie richtig oder falsch ist und warum.

Aber wir werden hier bestimmt nicht deine Mathe Olympiade rechnen

das wollte er ja auch nicht

a - b = a / b

b( a - b ) = a
ab - b² = a
-b² = a - ab;
-b² = a(1 - b)
-b² / (1 - b) = a

keine Ahnung ob das stimmt.
aber nur für b != 1 und dann halt für jedes b

camper

fehlt noch b != 0 ...

SG1

Sieht doch ganz gut aus. Musst halt nur den Fall b=1 noch gesondert betrachten.

ich != misterX
hm, wie muss man denn b = 1 jettz betrachten?

camper

du musst schon begründen, warum b nicht 1 werden darf, die begründung, dass man nicht durch 0 dividieren kann reicht nicht, schliesslich entsteht die division ja durch eine umformung von dir

japro

camper schrieb:

du musst schon begründen, warum b nicht 1 werden darf, die begründung, dass man nicht durch 0 dividieren kann reicht nicht, schliesslich entsteht die division ja durch eine umformung von dir

achja.. dann setzen wir doch mal b=1 in die ausgangsformel ein:

a-b=a/b mit b=1 => a-1=a => 1=0

wohl kaum

viel interessanter finde ich es, was passiert wenn man die ausgangsgleichung mit b multipliziert:

$ab-b^2=a$ denn dann ist das ganze für b=0 durchaus darstellbar mit a=0... was nun?

camper

du hast schon recht , dass es so simpel für den fall b=1 ist, trotzdem muss man es genau so begründen.

andererseits ist nach den lösungen von $ab-b^2=a$ gar nicht gefragt.
gefragt ist eben nach den lösungen von $a-b=\frac{a}{b}$ und diese gleichung erlaubt b=0 nun mal nicht.

WebFritzi

Also, um die Sache mal auf den Punkt zu bringen: Die Menge der gewünschten Zahlenpaare sieht wie folgt aus:

$M = \Biggl\{ \biggl(\frac{p^2}{p-1}, p\biggr) \,:\, p\in\mathbf{Q}\setminus\{0,1\} \Biggr\}$ .

Also, ich sehe ja ,dass deine Formel richtig ist, aber 1.Wie bist du darauf gekommen?und 2. Wie beweist du, dass deine Formel wirklich ALLE dieser Zahlenpaare beinhaltet?

Bashar

MisterX schrieb:

1.Wie bist du darauf gekommen?und 2. Wie beweist du, dass deine Formel wirklich ALLE dieser Zahlenpaare beinhaltet?

1. --Foo-- hat den Lösungsweg gepostet. Das von WebFritzi ist dasselbe, nur ein bisschen eleganter aufgeschrieben.
2. Wenn der Lösungsweg hieb- und stichfest ist, erübrigt sich ein Beweis.

WebFritzi

Für dich, MisterX:

{\bf Behauptung:} {\it Mit $M = \Biggl\{ \biggl(\frac{p^2}{p-1}, p\biggr) \,:\, p\in\mathbf{Q}\setminus\{0,1\} \Biggr\}$ und $N = \Biggl\{ (a,b)\in\mathbf{Q}^2 \,:\, a-b = a/b \Biggr\}$ gilt $M = N$.}$ $$${\bf Beweis:} Es sei $(a,b)\in M$, also $a = p^2/(p-1)$ und $b=p$, wobei $p\in\mathbf{Q}\setminus\{0,1\}$. Dann gilt\\ \\ $a-b = \frac{p^2}{p-1} - p = \frac{p^2 - p(p-1)}{p-1} = \frac{p}{p-1} = \frac{\frac{p^2}{p-1}}{p} = \frac{a}{b}$.\\ \\ Also ist $(a,b)\in N$. Sei nun $(a,b)\in N$. Dann sind $a$ und $b$ rationale Zahlen mit der Beziehung $a-b = a/b$. Daraus folgt sofort $b\neq 0$. W"are $b=1$, dann folgte $a-1 = a$, was ein Widerspruch ist. Also ist $p:=b\in\mathbf{Q}\setminus\{0,1\}$. Es gilt $a-p = a/p$. Subtrahieren wir $a/p$ und addieren $p$, so erhalten wir $a(1-1/p) = p$ bzw. $a\cdot\frac{p-1}{p} = p$. Multiplikation von $p$ und Division durch $p-1$ f"uhrt uns auf die Gleichung $a = \frac{p^2}{p-1}$. Daraus folgt die Behauptung, denn $(a,b) = (\frac{p^2}{p-1}, p) \in M$.\hspace*{\fill}$\Box$