4. Aufgabe der Mathe-Olympiade

Aufgabe der Mathe-Olympiade

  • C

    fehlt noch b != 0 ...

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  • S

    Sieht doch ganz gut aus. Musst halt nur den Fall b=1 noch gesondert betrachten.

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  • ?

    ich != misterX
    hm, wie muss man denn b = 1 jettz betrachten?

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  • C

    du musst schon begründen, warum b nicht 1 werden darf, die begründung, dass man nicht durch 0 dividieren kann reicht nicht, schliesslich entsteht die division ja durch eine umformung von dir

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  • J

    camper schrieb:

    du musst schon begründen, warum b nicht 1 werden darf, die begründung, dass man nicht durch 0 dividieren kann reicht nicht, schliesslich entsteht die division ja durch eine umformung von dir

    achja.. dann setzen wir doch mal b=1 in die ausgangsformel ein:

    a-b=a/b mit b=1 => a-1=a => 1=0

    wohl kaum 😃

    viel interessanter finde ich es, was passiert wenn man die ausgangsgleichung mit b multipliziert:

    ab−b2=aab-b^2=a denn dann ist das ganze für b=0 durchaus darstellbar mit a=0... was nun?

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  • C

    du hast schon recht , dass es so simpel für den fall b=1 ist, trotzdem muss man es genau so begründen.

    andererseits ist nach den lösungen von ab−b2=aab-b^2=a gar nicht gefragt.
    gefragt ist eben nach den lösungen von a−b=aba-b=\frac{a}{b} und diese gleichung erlaubt b=0 nun mal nicht.

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  • W

    Also, um die Sache mal auf den Punkt zu bringen: Die Menge der gewünschten Zahlenpaare sieht wie folgt aus:

    M={(p2p−1,p):p∈Q∖{0,1}}M = \Biggl\{ \biggl(\frac{p^2}{p-1}, p\biggr) \,:\, p\in\mathbf{Q}\setminus\{0,1\} \Biggr\}.

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  • ?

    Also, ich sehe ja ,dass deine Formel richtig ist, aber 1.Wie bist du darauf gekommen?und 2. Wie beweist du, dass deine Formel wirklich ALLE dieser Zahlenpaare beinhaltet?

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  • B

    MisterX schrieb:

    1.Wie bist du darauf gekommen?und 2. Wie beweist du, dass deine Formel wirklich ALLE dieser Zahlenpaare beinhaltet?

    1. --Foo-- hat den Lösungsweg gepostet. Das von WebFritzi ist dasselbe, nur ein bisschen eleganter aufgeschrieben.
    2. Wenn der Lösungsweg hieb- und stichfest ist, erübrigt sich ein Beweis.

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  • W

    Für dich, MisterX:

    {\bf Behauptung:} {\it Mit $M = \Biggl\{ \biggl(\frac{p^2}{p-1}, p\biggr) \,:\, p\in\mathbf{Q}\setminus\{0,1\} \Biggr\}$ und $N = \Biggl\{ (a,b)\in\mathbf{Q}^2 \,:\, a-b = a/b \Biggr\}$ gilt $M = N$.}$ $$${\bf Beweis:} Es sei $(a,b)\in M$, also $a = p^2/(p-1)$ und $b=p$, wobei $p\in\mathbf{Q}\setminus\{0,1\}$. Dann gilt\\ \\ $a-b = \frac{p^2}{p-1} - p = \frac{p^2 - p(p-1)}{p-1} = \frac{p}{p-1} = \frac{\frac{p^2}{p-1}}{p} = \frac{a}{b}$.\\ \\ Also ist $(a,b)\in N$. Sei nun $(a,b)\in N$. Dann sind $a$ und $b$ rationale Zahlen mit der Beziehung $a-b = a/b$. Daraus folgt sofort $b\neq 0$. W"are $b=1$, dann folgte $a-1 = a$, was ein Widerspruch ist. Also ist $p:=b\in\mathbf{Q}\setminus\{0,1\}$. Es gilt $a-p = a/p$. Subtrahieren wir $a/p$ und addieren $p$, so erhalten wir $a(1-1/p) = p$ bzw. $a\cdot\frac{p-1}{p} = p$. Multiplikation von $p$ und Division durch $p-1$ f"uhrt uns auf die Gleichung $a = \frac{p^2}{p-1}$. Daraus folgt die Behauptung, denn $(a,b) = (\frac{p^2}{p-1}, p) \in M$.\hspace*{\fill}$\Box$
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