Aussagenlogik (kleinste reelle Zahl)

[prolog]

Hmm fast mein Debut in diesem Teil des Forums.

Ich bin mir bei folgender Aufgabe unsicher.

Es sei ein Prädikat über dem Grundbereich U der reellen Zahlen definiert.

mit:

K(x,y) : x < y.

Ich soll nun mit Hilfe von Quantoren und Junktoren die Aussage: "Es gibt eine kleinste reelle Zahl" bilden.

Ist alles noch ziemlich neu deswegen bin ich mir ziemlich unsicher was das angeht.

Ich habe folgenden Ansatz. Eine reelle Zahl x ist die kleinste reelle Zahl wenn für alle reelle Zahlen, die verschieden von x sind K gilt.

Ich hab allerdings problem das Verschiedensein auszudrücken. Ich bin mir noch nicht mal sicher ob ich den ersten Teil richtig ausgedrückt hab. Also bin Anfänger was das angeht also lasst bitte ein Haar an mir

$\exists x\forall y K(x,y)$

Wenn ich das richtig verstanden hab, dann müsste dich obige Aussage bedeuten, dass es ein x gibt das kleiner als jedes y ist oder ?
Aber wie sag ich jetz noch das y verschieden von x sein muss.

Ich hab an folgendes gedacht:

\exists x(\forall y K(x,y) \wedge x \not\neq y)

Bin dankbar für Anregungen.

[camper]

es kommt darauf an, ob du K( x, y ) \Rightarrow x \not = y benutzen willst, was evtl. erst zu beweisen ist
sonst müsste es wohl etwa so aussehen:

\exists x: \not\exists y: K( y, x )

bzw.

$\exists x: \forall y: \neg K( y, x )$

[prolog]

Ich darf die Implikation nicht benutzen. Lediglich das Prädikat und den Existenz und den Allquantor.

Warum benutzt du denn in diesem Fall eingeschränte Quantoren ?

Ich hab mir noch mal Gedanken gemacht. Kann man das auch vereinfacht so schreiben ?

$\exists x \forall y K(x,y)$

Was ja soviel bedeutet wie: Es gibt ein x in U so, dass für alle y in U K(x,y) gilt. Oder ?

[edit] hmm das entspricht ja meinem ersten Ansatz. Nu dreh ich mich im Kreis [/edit]

[prolog]

Öhm ok ich antworte mir nochmal. Das hast du ja geschrieben, was ich jetz erst bemerkt habe. Ich darf zwar die Implikation nicht im Ausdruck benutzen dennoch nehm ich mal an dass die einfach mal als Gesetz voraussetzen, dass eine zahl x nicht gleich y sein kann wenn x < y gilt.

Das heisst ja dann weiter, dass ich es nich berücksichtigen muss und meine erste und letzte Aussage (die ja identisch sind) ausreichen.

Deine beiden Formulierungen versteh ich noch nicht so ganz. Da muss ich nochmal drüber nachdenken.

[WebFritzi]

prolog schrieb:

$\exists x \forall y K(x,y)$

Nein, das kannste nicht nehmen, denn wenn das stimmte, wäre auch K(x,x), also x < x der Fall, was nicht stimmt. Machen wir es erstmal ohne das K(x,y):

$\exists x\forall y: x\le y$.

Das heißt natürlich aber nicht, dass es genau ein x gibt. Um dem zu entgehen, kannst du dem $\exists$ noch ein ! hintenanstellen: $\exists !$. Das bedeutet die Einzigkeit des Elements x. Ich weiß nicht, ob das bei euch auch als Quantor gilt. $x\le y$ bedeutet nun $y \ge x$, also $\neg K(y,x)$, was camper schon angesprochen hatte. Also würde gehen:

$\exists x\forall y \neg K(y,x)$, bzw.
$\exists ! x\forall y \neg K(y,x)$.

Wenn ihr auch das Gleichheitszeichen benutzen dürft, würde ich aber folgendes vorschlagen:

$\exists x \forall y \biggl( K(x,y) \vee (x=y)\biggr)$.

Das würde aber auch die Einzigkeit des Elementes x bedeuten. Die Frage bleibt, ob "es gibt ein kleinstes Element" bedeutet, dass es mindestens eins gibt, oder dass es genau eins gibt...

[Bashar]

Mein Vorschlag:
$\exists x\forall y\colon \neg K(x,y) \Rightarrow \neg K(y,x)$

[camper]

sehr elegant

[elise]

@prolog

<offtopic>
mathe 1 für bachelor ... ?
ich kenne die aufgabe irgendwie...
</offtopic>

[prolog]

Hallo,

ich danke euch schon mal, besonders Webfritzi für die Erklärung.
Und @elise japp du hast recht. Ich bin voll der Matheidiot glaub ich. Ich denke jetz hab ich es verstanden.

Ich hab übersehen dass man ja für x und y die gleiche Zahl n einsetzen könnte.

Ist nicht dadurch dass es die kleinste Zahl ist schon die Einzigkeit gegeben ?
Ich mein es kann doch nur eine kleinsete Zahl geben sonst wärs nicht die Kleinste oder seh ich das falsch ?

Ok ich mach mal weiter ich denke die nächsten bekomm ich selbst hin.

Also danke nochmal an alle.

[Walli]

prolog schrieb:

Ist nicht dadurch dass es die kleinste Zahl ist schon die Einzigkeit gegeben ?
Ich mein es kann doch nur eine kleinsete Zahl geben sonst wärs nicht die Kleinste [...]

Logisch!

[WebFritzi]

Naja, es kommt auf die Menge an, auf der wir uns bewegen. Und auf die Relation "<". Aber da die reellen Zahlen wohlgeordnet sind (für a,b aus R gilt: a<b, b<a oder a=b), habt ihr recht.

[camper]

tja, allerdings gibt es auch keine kleinste reelle zahl, wenn man also trotzdem diese aussage machen soll, muss man schon fragen ob man von bestimmten anderen eigenschaften der menge bzw. der relation gebrauch machen darf

[Jester]

Jo, das dacht ich auch grad. Wenn man das Meta-Wissen mitbenutzen darf, dann kann man die Aussage elegant als "F" formulieren.