4. gibts ein alpha, so das die Polynome linear abhängig sind ?

gibts ein alpha, so das die Polynome linear abhängig sind ?

  • D

    Hallo
    ich muss für eine klausur lernen, und da gibts eine aufgabe:
    Q0(x) = x2 + x + 1
    Q1(x) = x2 + αx - 3
    Q2(x) = x + 3α

    nun die frage, ob es ein α gibt, so das die Q0-2 lin. abhängig sind.
    Man hat doch dann die Vektoren (1,1,1); (1,α,-3); (0,1,3α); richtig?
    dann gibt diese gleichung:
    a(1,1,1) + b(1,α,-3) + c(0, 1, 3α) = (0,0,0).
    daraus folgt die 3 gleichungen:
    a + b = 0
    a + αb + c = 0
    a - 3b + 3αc = 0
    so.
    durch umformung kommt raus:
    a + b = 0
    bα - b + c = 0
    -4b + 3αc = 0
    richtig soweit ?
    wenn man die zweite gleichung nach b umstellt, das ergebniss in die 3te einsetzt, kommt raus:
    -4b - 3bα2+3αb = 0
    wenn man dann +4b auf beiden seiten rechnet kommt:
    - 3bα2+3αb = +4b
    das geteilt durch -3b:
    α2-α = -4/3
    das ist dann eine quadratische gleichung die man so lösen kann:
    α1/2=1/2 +- √1/4 - 4/3
    und da gibts keine lösung.
    also gibts kein α für das diese 3 polynome lin. abhängig sind?

    0
  • W

    Das ist gut so. Nur teilst du irgendwo durch b. Du musst noch klarstellen, dass b nicht Null ist.

    0
  • B

    ich glaub es ist einfacher in matrixform.

    1 1 1
1 a -3
1 3a 0

    linear unabhängig ist es wenn die Determinante ungleich Null ist.
    also mus a so gewählt werden das die determinante Null wird.

    0
  • ?

    ich stehe gerade auf dem schlauch ...

    kann mir das ma wer erklären

    ihr setzt doch bei

    Q0(x) = x2 + x + 1

    einfach für x= 1 und erwartet dann das q0(x)=0 ist ... die aussage stimmt doch schon nicht weil x2 + x + 1 doch nie kleiner oder gleich 0 wird oder ???

    ich mein das mit dem x ist schon ok ... das kann ich ja beliebig wählen, weils für alle x gelten muss ... aber ich kann doch dann nich davon ausgehen das die Q alle 0 sind ???

    aber irgendwie steh ich im mom auch auf dem schlauch ... also ka ... *moep*

    0
  • C

    mittels determinanten gehts tatsächlich am schnellsten:

    0=\left|\begin{array}{vvvv} &1 &1 &1\\ &1 &\alpha &-3\\ &0 &1 &3\alpha \end{array}\right| =\left|\begin{array}{vvvv} &1 &1 &1\\ &0 &\alpha-1 &-4\\ &0 &1 &3\alpha \end{array}\right| =3\alpha(\alpha-1)+4=3\alpha^2-3\alpha+4= \alpha^2-\alpha+\frac{4}{3}=(\alpha-\frac{1}{2})^2+\frac{13}{12}\Rightarrow \alpha \not\in R

    die rechte seite ist aber für reelle α garantiert positiv, folglich ist das gleichungssystem für alle reellen α linear unabhängig.

    @unwissend: niemand setzt x, die frage ist ja, ob (bzw. für welche α) es 3 zahlen a,b,c ,die nicht alle gleichzeitig null sind, so gibt, dass a(gleichung 1)+b(gleichung 2)+c(gleichung 3) = 0 für alle x gilt.

    0
  • D

    stimmt hats recht danke

    also stimmte doch meine rechnerei von oben
    da kahm ja auch wurzel aus einer negativen zahl

    0
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