Problem mit Differentialgleichung

Hi,

ich komme bei folgender Differentialgleichung nicht weiter...

y'' + 2 y' - 3 y = x², y(0) = y'(0) = 0

Der vorgegebene Ansatz lautet: y_s(x)=a₂ x² + a₁ x + a₀

Nun habe ich gedacht, dass ich aus den Randbedingungen folgern kann (?), dass "a₀ = a₁ = 0" gilt und mit der Variation der Konstanten fortgefahren (richtig?). Also habe ich "c(x) x²" zweimal nach x differenziert und in die Gleichung eingesetzt. Nun konnte ich c(x) aber nicht wirklich bestimmen. Ich hoffe, dass ich das Problem genau genug geschildert habe.

Viele Grüße!

fubar

Dosenbier schrieb:

y'' + 2 y' - 3 y = x², y(0) = y'(0) = 0
y_s(x)=a₂ x² + a₁ x + a₀

y_s(x)=a₂ x² + a₁ x + a₀
Als erstes mußt du erste und zweite Ableitung bilden und in die DGL einsetzen.
Das sieht dann ungefähr so aus: c₂ x² + c₁ x + c₀ = x^2
Koeffizientenvergleich liefert die Unbekannten. Dann noch y so umbauen, daß die Anfangsbedingungen erfüllt werden ...

Dosenbier schrieb:

Nun habe ich gedacht, dass ich aus den Randbedingungen folgern kann (?), dass "a₀ = a₁ = 0" gilt und mit der Variation der Konstanten fortgefahren (richtig?).

Nein, falsch, würde ich sagen. (Ohne es jetzt selber gerechnet zu haben )

Danke! Habe den Koeffizientenvergleich gemacht, komme aber nun beim umbauen von y nicht wirklich weiter. Ich habe mal gehört, dass man für lineare DGLs 2. Grades das Superpositionsprinzip anwenden kann. Habe es mir auch mal durchgelesen, werde aus der Erklärung aber nicht wirklich schlau. Kann mir jemand sagen was ich im nächsten Schritt machen muss?

camper

du bekommst hier nur eine einzelne lösung, welche den randbedingungen nicht genügt.

nun kannst du aber zu y jede funktion z addieren, die der gleichung z'' + 2z' - 3z = 0 genügt. das resultat erfüllt dann immer noch die geforderte differentialgleichung. jetzt kannst du aber die parameter so variieren, das auch die randbedingungen erfüllt sind.

wenn ich mich nicht irre, müsste ein ansatz z = u * sin ( x + v ) zum ziel führen.

fubar

y'' + 2 y' - 3 y = x²

Mit dem Ansatz $y\_s(x)=a\_2 x^2 + a\_1 x + a\_0$ bekommst du eine spezielle Lös. der inhomo. DGL. Wie camper schon schrieb, brauchst du jetzt ein Fundamentalsystem für y'' + 2 y' - 3 y = 0. Allerdings halte ich den Ansatz z = u * sin ( x + v ) für etwas umständlich (falls er zum Ziel führen sollte ...).

Als erstes stellst du das char. Poly. für die DGL auf: $p(s)=s^2+2s-3$ Dann suchst du die NST der char Gleichung p(s)=0. Hast du die NST $s_{1,2}$ gefunden, bilden exp(s_ix) ein FS. Falls du komplexe Lös. hast, kannst du die konj. komplexe Lös. streichen und nimmmst dafür Real- & Imaginärteil der Lös ... Sorry für die Kurzfassung, sitze hier vor einer alten Kiste mit 56k-Modem ...

Danke euch! Ich denke das wird mir weiterhelfen. Ist halt alles noch Neuland für mich das ganze mit den DLGs .