orthogonal zu allen polynomen <= 2

[DEvent]

hallo
ich hab volgende aufgabe von der ich null plan habe

Berechne Sie die Koeffizeinten a₀, a₁, a₂ des Polynoms Q₃ der Form: x³ + a₂x² + a₁x + a₀, das bezüglich des inneren produkts <f, g> = ∫¹_-1f(x)g(x)dx, f,g element aus C[-1,1], orthogonal ist zu allen algebaischen polynomen vom grad <= 2

also wenn irgendjemand eine idee hat wie man das löst, dann sagt es mir bitte.
ich bitte nicht das ihr das für mich löst, sondern nur um einen lösungsvorschlag

[fubar]

Jedes algebaische Polynomen vom Grad <= 2 kannst du schreiben als b₂x² + b₁x + b₀
Jetzt kannst du das Skalarprodukt allgemein ausrechnen. Müßte

$2/5\,b_{{1}}+2/5\,b_{{2}}a_{{2}}+2/3\,b_{{0}}a_{{2}}+2/3\,b_{{1}}a_{{1 }}+2/3\,b_{{2}}a_{{0}}+2\,b_{{0}}a_{{0}}$

rauskommen. Unter welchen Bedingungen ist das immer gleich Null (für bel. b_i)?

[Um deine Lösung überprüfen zu können: Ich habe als Lösung$-3/5\,x+{x}^{3}$ . Natürlich alles ohne Gewähr ...]

Edit: Tippfehler ausgebessert.

[Gehirnmann!]

tschuldigung dass ich frage,
aber was sind f,g ? zwei polynome?
ist mir net ganz klar was da berechnet wird

[DEvent]

ich hab wenn ich ehrlich bin ka
es ist klar das jedes algebraisches polynom vom grad <= 2 diese form hat
ich weis auch was ein skalarprodukt ist, aber eben nur bei vektoren...
kann mir jemand bitte in worten sagen was da überhaupt gemeint ist ... ?

[Jockelx]

DEvent schrieb:

ich weis auch was ein skalarprodukt ist, aber eben nur bei vektoren...

Dann sollte es doch keine Probleme geben
Nur sind 'Vektorraum' und 'Skalarprodukt' halt sehr allgemeine Begriffe.
L² oder C² sind halt Vektorräume und die Polynome sind
deren 'Vektoren'.
Warum das angegebene Skalarprodukt auch wirklich eins ist, kannst du
ja mal nachrechnen, also die 4? Bedingungen verifizieren.

Jockelx

[fubar]

Gehirnmann! schrieb:

aber was sind f,g ? zwei polynome?

Nein, f, g Element aus C[-1,1], d.h. aus dem Raum der auf dem abgeschlossenen Intervall [-1, 1] stetigen Funktionen, also z.B. auch exp, sin, cos oder aus denen zusammengesetzte Funktionen, aber z.B. nicht die Sprungfunktion oder andere wilde Dinge.

[fubar]

DEvent schrieb:

es ist klar das jedes algebraisches polynom vom grad <= 2 diese form hat

Gut, dann muß du nur noch $p\_1(x) = b\_2x^2 + b\_1x + b\_0$ und $p\_2(x) = x^3 + a\_2x^2 + a\_1x + a\_0$ in die Definition einsetzen:
$<p\_1, p\_2> = \int_{-1}^1 p\_1(x) p\_2(x) dx$ und so weiter rechnen wie oben schon beschrieben ...

Edit: C&P-Fehler