Mengentheorie (Problem beim nachvollziehen von Beweis)

[prolog]

Hallo,

ich hab mal wieder ein Problem. Leider ist die Erkenntnis die ich hoffentlich am Ende dieses Threads habe, essentiell für die weitere Arbeit.

An Hand eines Beispiels wurde bewiesen dass für beliebige Mengen
$M \subset M \Leftrightarrow M \cap N=M$ gilt.

Propostionen sind:
$M \cap N \subset M \subset M \cup N, M \setminus N \subset M$

Sowie noch einige andere Gesetze. Aber das oben genannte ist das worauf es ankommt.

Zum Beweis wird die obige Äquivalenz in zwei Implikationen umgeschrieben.
Nämlich:
$M \subset N \Rightarrow M \cap N = M$ und
$M \cap N = M \Rightarrow M \subset N$ .

Laut Beweis folgt die zweite Implikation sofort aus obiger Proposition.
Genau das kann ich nicht einsehen. Wieso folgt sie daraus ?????

Aus dem Rest des Beweises werde ich auch nicht so ganz schlau.
Den schau ich mir noch mal genauer an und führ ihn nur der Form halber mit auf.

Es wird $M \cap N \subset M$ nach obiger Proposition gebildet. (seh ich auch nicht ein ???????)
Umgekehrt sei $x \in M$ .
Wegen $M \subset N$ folgt dann $x \in N$, also $x \in M \cap N$.
Jedes Element von M ist damit auch Element von $M \cap N$ , was $M \subset M \cap N$, und wegen $M \cap N \subset M$ insgesamt also $M \cap N = M$
impliziert. Was bewiesen werden sollte.

Wichtig ist mir wie gesagt warum die zweite Implikation aus der Proposition folgt. ???

Ich hoffe das kann mir jemand erklären.

So far ....

[SG1]

Du willst zeigen, dass $M \subset N$ . Dazu setzt Du $M \cap N = M$ ein, und erhälst $M \cap N\subset N$ . Und das ist (mit ein bisschen Umbenennen) Deine erste Proposition.

[elise]

hi

nur als nebentip: was mir bei diesen 'noch einfach darzustellenden' aufgaben damals geholfen hat, ist ... malen.
mal dir die mengen mal auf, und schau dir die jeweiligen aussagen daraufhin an... mir hat sich das dadurch etwas erschlossen.

[prolog]

Hallo,

Danke euch erstmal. Ich hab das total übersehen dass ich da einsetzen kann.

@elise

Ich hab garnicht so probleme nachzuvollziehen dass die Gesetzmäßigkeiten stimmen. Ich hab Probleme von meinem intutitiven Verständnis auf einen formalen Beweis zu kommen.

Es würde halt helfen, wenn man sowas gesagt bekommt wie:
Wenn du ne Implikation hast musst du die Seite rechtz vom Pfeil auf ein Axiom zurückführen um sie zubeweisen. (btw. ist das nur was was ich mir gedacht hab.Stimmt das überhaupt ?)

Irgendwie Regeln wie ich am besten an solche Beweise ran gehe. Gibt es sowas in der Art ? Nen algorithmus wie man sowas macht ?

[elise]

schön, du stellst die gleichen fragen, die ich auch immer gestellt habe, und immernoch stelle.

wir werden in den skripten hölle konfrontiert mit beweisen (du wirst sehen, es wird immer schlimmer ) und da steht dann manchmal:

hier könnte dann so umgeformt werden, damit multipliziert und schwups, nu sieht das ganze so aus... ladida

ich fragte dann oft, wie kommt ein mensch darauf, daß mit dem vollständig aus der luft hergeholten ausdruck zu multiplizieren, die antwort war meist: das ist erfahrung.. oder das ist die kunst...

jetzt so ganz langsam, nach mathe2, tritt eine leichte ... ganz leichte dämmerung ein, wie beweise geführt werden könnten...

bei diesen mengenlogiksachen helfen mir meist die logiktabellen, also das boolesche schema aufstellen und sozusagen "von hinten" den beweis erschließen: anschaun, wo will ich hin, und dann rückwärst laufen.

aber ich freue mich auch auf eine konstruktivere lösung von den matheleichtverstehendenundbeweisefürleichthaltenden hier im forum

ps: das einzige beweisverfahren, das mir klar erscheint, ist die vollständige induktion

[prolog]

Da bin ich schon mal froh dass ich nicht der Einzige bin der solche Problem hat bzw. in deinem Fall hatte. Etwas ernüchternd ist allerdings deine Zukunftsprognose und die Sache mit der Erfahrung und Kunst :(.

Folständige Induktion ist ein klarer Algorithmus. Damit kann ich arbeiten, aber das andere, hum .

Ich hoffe mal mit dir das mich einer der zweifellos vorhandenen Cracks hier erleuchtet.

[SG1]

elise schrieb:

ich fragte dann oft, wie kommt ein mensch darauf, daß mit dem vollständig aus der luft hergeholten ausdruck zu multiplizieren, die antwort war meist: das ist erfahrung.. oder das ist die kunst...

Ist aber leider wirklich so. Aber andererseits: Wenn Beweise nur aus einer Handvoll Algorithmen bestehen würden, die man dann nur abspulen muss, wäre das ganze auch irgendwie langweilig, oder?

[SG1]

prolog schrieb:

Es würde halt helfen, wenn man sowas gesagt bekommt wie:
Wenn du ne Implikation hast musst du die Seite rechtz vom Pfeil auf ein Axiom zurückführen um sie zubeweisen. (btw. ist das nur was was ich mir gedacht hab.Stimmt das überhaupt ?)

Im Allgemeinen musst Du immer _von den Axiomen ausgehend_ auf die zu beweisende Aussage kommen. Falls Du eine Implikation hast, kannst Du auch die linke Seite wie ein Axiom verwenden, und nur die rechte Seite beweisen.

Da man aber häufig viele Axiome (und schon bewiesene Aussagen) und nur eine zu beweisende Aussage hat ist es häufig zweckmässig, das ganze umgedreht zu betrachten: Von der zu beweisenden Aussage zu den Axiomen. Dabei muss man sich aber im klaren sein, dass man gerade den Weg rückwärts geht - und beim Aufschreiben dann die Reihenfolge wieder umdrehen! Also sollte man den Beweis von oben besser so aufschreiben:

Wir gehen aus von $M \cap N\subset N$ (Die Aussage lässt sich zusammen mit dem Kommutativgesetz aus Deinem 1. Axiom gewinnen).
Nach Voraussetzung ist $M \cap N = M$, wir erhalten also $M \subset N$. qed.

[elise]

SG1 schrieb:

elise schrieb:

ich fragte dann oft, wie kommt ein mensch darauf, daß mit dem vollständig aus der luft hergeholten ausdruck zu multiplizieren, die antwort war meist: das ist erfahrung.. oder das ist die kunst...

Ist aber leider wirklich so. Aber andererseits: Wenn Beweise nur aus einer Handvoll Algorithmen bestehen würden, die man dann nur abspulen muss, wäre das ganze auch irgendwie langweilig, oder?

ja

habe mich ja auch ein jahr lang dran gewöhnt, und bin auf dem pfad der ersten kleinen kerze, sprich, die erleuchtung wird noch dauern, aber ich sehe ein licht am ende des tunnels
ich muss sogar sagen, zeitweise (bzw. themengebietabhängig) gefällt mir das ganze wahnsinnig gut.

[prolog]

@SG1

ok , ich versuche das zu beherzigen. Naja hilft wohl nix. Obwohl es mir wirklich schwer fällt zu glauben, dass es in einer so exakten Wissenschaft mit Mathematik auf Intuition und Erfahrung ankommt. Aber das ist ja in anderen Wissenschaften nicht viel anders. Bleibt mir nur der steinige Weg.:) Naja Herausforderungen sind ja da um sie zu bestehen.

Und zur Not kann ich ja immernoch Schäfer werden

Also danke an euch.

@elise
Kannst mir ja auf deinem Weg immer mal nen paar Fackeln anzünden oder Pfeile an die Wände malen, vll find ich den Weg ins Licht dann schneller. :p