Normalteiler

[hjkhkjhkj]

Sei $$G$$ eine Gruppe, $$N \subset G$$ eine Untergruppe. $$N$ ist Normalteiler von $G$ \iff \forall a\in G: aNa^{-1} = N$

Warum genügt es zu zeigen, dass $$\forall a\in G: aNa^{-1} \subset N$$?

Ich dachte folgendes: $Sei $a\in G$ beliebig. aNa^{-1} \subset N \iff N \subset a^{-1}Na \iff N \subset (a^{-1})^{-1}Na^{-1} = aNa^{-1}$ Richtig?

[Ponto]

Die Definition von Normalteiler finden wir hier:

http://www.matheboard.de/lexikon/Normalteiler,definition.htm

Sei nun $N$ eine Untergruppe von $G$ und $H = \lbrace a \in G \mid \exists b\in G \wedge c \in N : a = bcb^{-1}\rbrace$. $N$ ist genau dann ein Normalteiler, wenn gilt $N=H$.

Es ist jedoch trivial zu zeigen, dass $N\subset H$ gilt. Denn für alle $c \in N$ gilt $c = ece^{-1}$ und damit nach Definition $c \in H$. Es ist meistens schwieriger die andere Richtung zu beweisen.

[Jester]

@hjkhkjhkj: Jop, Dein Beweis ist korrekt.

[hjkhkjhkj]

Jester schrieb:

@hjkhkjhkj: Jop, Dein Beweis ist korrekt.

Bloß hätte ich wissen müssen, dass bei den LaTeX-Tags man gleich im $$-Modus ist.

[scrub]

und der eine oder andere zwischenraum im latexmodus mit \: wär auch nicht schlecht gewesen.