4. Wachstumsfunktion

Wachstumsfunktion

  • K

    Hallo!

    Ich stehe bei folgender Aufgabe einfach auf dem Schlauch und hoffe mir kann jemand helfen:
    Ein Rentner hat 100 000 Euro und bekommt jährlich 6% Zinsen. Er will sich jedes Jahr 10 000 Euro auszahlen lassen und benutzt dazu die Zinsen und da diese nicht reichen nimmt er den Rest von seinem Kapital.

    Wie kann ich das als Exponentialfunktion darstellen?
    Mir ist klar wie ich das für jedes Jahr per Hand ausrechne:
    100 000-(10 000 - 100 000 * 0,06) für das erste Jahr
    96 000-(10 000 - 96 000 * 0,06) für das zweite Jahr

    Ich weiß wirklich nicht wie ich das jetzt als Funktion darstellen kann 😞
    Rekursiv könnte es so gehen:
    f(x) = f(x-1) - (10 000 - f(x-1) * 0,06)
    f(0) = 100 000

    Wunderbar, hilft mir aber nicht wirklich weiter wenn ich zum Beispiel ausrechnen möchte wann der Rentner Pleite sein wird!

    Vielen Dank für jede Hilfe!

    EDIT:
    Hier eben das Programm geschrieben:

    int wachstum(int jahr)
{
	if (jahr == 0)
		return 100000;
	else
		return wachstum(jahr-1) - (10000 - wachstum(jahr-1) * 0.06);
}

int main()
{
	for(int i = 0; i < 5; ++i)
		cout << "Jahr: " << i << " = " << wachstum(i) << endl;
}

    Jahr: 0 = 100000
    Jahr: 1 = 95999
    Jahr: 2 = 91758
    Jahr: 3 = 87263
    Jahr: 4 = 82498

    0
  • 1

    Hallo *,

    ist das die richtige Formel
    w(n)=100.000⋅1,06n−10.000⋅∑i=0n−11,06iw(n) = 100.000 \cdot 1,06^{n} - 10.000 \cdot \sum \limits_{i=0}^{n-1} 1,06^{i}
    ?

    0
  • K

    Jo super das ist die Formel. wie auch immer du darauf gekommen bist 👍
    Mein Taschenrechner löst das Summenzeichen wie folgt auf:

    w(n) = 166.666*2/3 - 66.666 * 2/3 * 1.06^n
    Kann mir jemand erklären wie man auf die Umformung kommt, ich kenn mich mit Summenzeichen nicht wirklich aus...

    0
  • 1

    ∑i=0n1,06i\sum \limits_{i=0}^{n} 1,06^{i} ist lediglich eine andere Schreibweise fuer
    1,060+1,061+…+1,06n1,06^0 + 1,06^1 + \ldots + 1,06^n

    Uebrigens wuerde ich die Funktion keinen

    int

    zurueckgeben lassen sondern einen

    float / double

    wegen der Rundung.

    Zur Aufloesung der Formel durch deinen Taschenrechner: Such doch mal in einem Mathebuch nach Reihen. Eventuell findet man dann fuer den Ausdruck mit dem Summenzeichen noch eine einfachere Darstellung.

    Auf die Formel bin ich gekommen in dem ich sie fuer die ersten Jahre aufgeschrieben habe und dann zusammengefasst und vereinfacht habe.

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  • F

    KPC schrieb:

    Kann mir jemand erklären wie man auf die Umformung kommt, ich kenn mich mit Summenzeichen nicht wirklich aus...

    Das ist eine Geometrische Reihe.

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