4. Homogenes System von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung

Homogenes System von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung

  • W

    Hi,

    ich soll zu folgender Differentialgleichung zwei linear unabhängige Lösungen finden.

    x˙(t)=(−1e2t0−1)x(t)\dot{x}(t)=\left(\begin{array}{cc}-1&e^{2t}\\0&-1\end{array}\right)\,x(t)

    Nun habe ich zuerst mal folgendes definiert:

    x(t):=(x_1x_2),x˙(t):=(x˙_1x˙_2)x(t):=\left(\begin{array}{c}x\_1\\x\_2\end{array}\right),\quad\dot{x}(t):=\left(\begin{array}{c}\dot{x}\_1\\\dot{x}\_2\end{array}\right)

    Anschließend habe ich das in ein Gleichungssystem überführt
    x˙_1=−x_1+e2tx2\dot{x}\_1=-x\_1+e^{2t}\,x_2
    x˙_2=−0−x_2\dot{x}\_2=-0-x\_2

    Dann habe ich die Lösung für x2x_2 bestimmt:
    x_2=c_0e−tx\_2=c\_0\,e^{-t}

    Nun habe ich das in die erste Gleichung eingesetzt und versucht diese zu lösen:
    x˙_1=−x_1+c0et\dot{x}\_1=-x\_1+c_0\,e^{t}

    Dabei kam ich auf folgende Lösung:
    x_1=c_02et+c1e−tx\_1=\frac{c\_0}{2}\,e^t+c_1\,e^{-t}

    Meine Fragen an euch:

    1. Ist das soweit richtig wie ich vorgegangen bin, bzw. ist diese Vorgehensweise sinnvoll im Hinblick auf kompliziertere Aufgabenstellungen?
    2. Falls ja: Wie mache ich nun weiter?

    Mfg,
    Christian

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  • M

    Hm, naja, es ist doch schon so schönm in einer Matrix gegeben.

    Sowas löst man dann normalerweise mittels der Transitionsmatrix (Matritzen-e-Funktion) oder durch Multiplikation mit dem integrierenden Faktor oder Laplace Transformation :p

    In der Zustandsraumdarstellung von Regelungssystemen benutzt man solche "Vektordifferentialgleichungen".

    Hab aber nicht so viel Ahnung von Mathe, da ich nur an der FH studiert habe 😃 Vielleicht gibts noch elegantere Lösungswege auch für nichtlineare und zeitvariante Varianten. Auf jeden Fall würde ich es nicht so aufbröseln sondern direkt vektoriell lösen.

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  • W

    Minimee schrieb:

    Hm, naja, es ist doch schon so schönm in einer Matrix gegeben.

    Sowas löst man dann normalerweise mittels der Transitionsmatrix (Matritzen-e-Funktion) oder durch Multiplikation mit dem integrierenden Faktor oder Laplace Transformation :p

    Hatten wir in der Vorlesung noch nicht, muss also auch ohne gehen. Aber trotzdem danke ;)!

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  • J

    Ja, das ist soweit schon sinnvoll. Sieht auch richtig aus. Allerdings gibt es meines Wissens Verfahren, die bei dieser Form (Ableitung = Matrix * Funktion) besser benutzbar sind. Wenn ich mich recht erinnere mußte man dazu ein Fundamentalsystem bestimmen. Wie das aber genau ging... kann ich nachschauen wenn es Dich interessiert. 🙂

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  • F

    MaSTaH schrieb:

    1. Ist das soweit richtig wie ich vorgegangen bin, bzw. ist diese Vorgehensweise sinnvoll im Hinblick auf kompliziertere Aufgabenstellungen?
    2. Falls ja: Wie mache ich nun weiter?
    1. Ja, hat die Matrix Dreiecksform, kann man die DGL sukzessive lösen. Also ist die Vorgehensweise IMHO sinnvoll. Allerdings glaube ich, daß du dich einmal verrechnet hast. x_1=(c_0t+c1)e−tx\_1 = \left( c\_{{0}}t+c_{{1}} \right) {e^{-t}} habe ich rausbekommen, kann mich aber auch verrechnet haben.
    2. Habt ihr schon ein Reduktionsverfahren kennengelernt? Damit kann man das (2x2)-System auf ein (1x1)-System reduzieren und das dann lösen ...

    Edit: Achja, der Ansatz wäre dann x_2(t)=ϕ(x)x_1+u(x)x\_2(t) = \phi(x)x\_1 + u(x), wobei u(x) = [0, u_1(x)]^T, also allgemein eine Fkt. aus dem IR^n, bei der die erste Komponente 0 ist.

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  • W

    @fubar: Ja, Reduktionsverfahren haben wir in der Numerik kennengelernt. Ich versuche mal, ob ich das hier hinbekomme. EDIT: War doch was anderes, was wir da gemacht haben (Reduktion auf ein System 1. Ordnung)... Wie würde man so eine Reduktion wie du sie meinst denn bewerkstelligen?
    @Jester: Musst nicht extra nachschauen. Ich denke, dass wir das dann zu gegebener Zeit auch in der Vorlesung behandeln werden 🙂 .

    Eine Frage hätte ich noch: Wie würde ich auf eine weitere linear unabhängige Lösung kommen?

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  • F

    Eine weitere linear unabhängige Lösung bekommst du dann durch den oben beschriebenen Ansatz, der das System auf ein System (n-1). Ordnung reduziert.

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  • W

    Ok, ich schaus mir mal an 🙂 . Danke!

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  • W

    fubar schrieb:

    Edit: Achja, der Ansatz wäre dann x_2(t)=ϕ(x)x_1+u(x)x\_2(t) = \phi(x)x\_1 + u(x), wobei u(x) = [0, u_1(x)]^T, also allgemein eine Fkt. aus dem IR^n, bei der die erste Komponente 0 ist.

    Noch ne Frage: Was bedeutet ϕ(x)\phi(x) in deinem Ansatz?

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  • F

    ϕ(x)\phi(x) ist eine (noch nicht bekannte) skalare Funktion, also f : IR -> IR (oder f : IC -> IC).

    Hab es noch mal für den Spezialfall n=2 aufgeschrieben:

    $$\\ y' = A(x)y. $y\_1(x)= \left( \begin{array}{c}y\_{11} \\ y_{12} \end{array} \right) $ L\"os. mit $y_{11} \ne 0$ auf dem Intervall I (oder wie habt ihr es gennant?). Ist z eine L\"os. von \\ $z' = (a_{22}(x) - \frac {y_{12}(x)}{y_{11}(x)}a_{12}(x)) z $ und $z \ne 0$, $\phi$ def durch \\ $\phi(x) = \int_{x\_0}^x \frac 1 y\_{11(t)} a_{12}(t) z(t)dt \Rightarrow y\_1$ und $y\_2 = \phi(x)y_1(x) + \left( \begin{array}{c}0 \\ z(x) \end{array} \right)$ FS von y' = Ay.

    Das müßte für den Ansatz von oben herauskommen ... hoffe ich zumindest.

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