Gibt es eine Liste mit allen Axiomen??
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Ich wage zu vermuten, dass die menge aller axiome überabzählbar ist...
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das glaube ich nicht. Ein Axiom ist etwas, das wir zugrunde legen wollen. Dazu müssen wir es aber zumindest formulieren können. Damit können wir es wohl auch aufschreiben. Mit unserem Alphabet können wir aber nur abzählbar viele Sätze schreiben... also auch nur abzählbar viele Axiome.
MfG Jester
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Andererseits können wir mit unserem endlichen Vorrat an Sätzen ein Axiomenschema für überabzählbar viele Axiome angeben.
In der Liste aller Axiome würde dann wohl nur das Axiomenschema erscheinen.
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tja, daran hab ich auch schon gedacht... andererseits muss ich nicht alles aufschreiben können, was ich definieren kann (siehe reelle zahlen z.b.) - warum sollte das für axiome anders sein.
eine definition ist ja nichts weiter als ein symbol für irgendetwas festzulegen, wärend dann eine aussage (und ein axiom ist ja nichts anderes) eine bestimmte kombination dieser symbole ist. wenn ich also überabzählbar viele symbole hab, müsste es auch mindestens so viele axiome geben.
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Ein Axiom ist aber grundlegend... etwas das wir als gegeben annehmen. Dazu müssen wir es aufschreiben (nicht nur beschreiben) können.
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Btw.: kleine Rätselfrage.
Was ist die kleinste natürliche Zahl, die zu beschreiben man mehr als 100 zeichen benötigt?
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definiere grundlegend
kleine rätselfrage 2: was ist die kleineste nichtnegative reelle zahl, die sich nicht mit endlich vielen zeichen definieren lässt?
ein axiom ist auch nur eine aussage. nur in in dem axiomensystem, in dem sie als axiom gültig ist, kommt ihr besondere bedeutung zu - das hat aber nichts mit ihrem inhalt bzw. ihrer form zu tun.
hm... vermutlich sollte jede wohlgeformte aussage endlich sein. dann gäbe es tatsächlich nur abzählbar viele aussagen. das hätte allerdings ein paar interessante konsequenzen... wenn es nur abzählbar viele aussagen gibt, dann gibt es mengen von (reellen) zahlen, über die man keine aussagen machen kann, wenn das auswahlaxiom nicht gilt - das scheint auch nicht richtig zu sein.
naja, ist vielleicht auch der wurm drin - ist schon spät
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Ist die Aussage, daß wir über eine bestimmte Menge keine Aussage machen können nicht schon eine Aussage über die Menge?
Wir ham's ja sogar geschafft mit endlich vielen Axiomen überabzählbare Sachen zu definieren. Bin nicht sicher, ob uns abzählbar viele Aussagen nicht vielleicht doch genügen um was über die Mengen auszusagen.
Ich meine, es gibt schon überabzählbar viele einelementige Teilmengen von R... trotzdem haben wir die soweit ganz gut im Griff...
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EDIT: *** (bin auf Jesters Auflösung gespannt).
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Jester schrieb:
Btw.: kleine Rätselfrage.
Was ist die kleinste natürliche Zahl, die zu beschreiben man mehr als 100 zeichen benötigt?
Die exisitiert nicht!
Sollte sie existieren, könnte ich sie nicht mit 100 zeichen beschreiben.
Mit der obigen Fragestellung habe ich das aber gerade getan.
Widerspruch!
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Das würde ich auch sagen. Das Problem dabei ist nur: wenn wir mal nur endlich viele versch. Zeichen zulassen (genügt ja um das zu formulieren) und davon auch nur Zeichenkette mit weniger als 100 Zeichen zulassen... dann sollte eigentlich klar sein, daß wir nur endlich viele darstellen können, nämlich 100^a, wobei a die Anzahl der Zeichen in unserem Alphabet ist. Was nun?
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Das ist eben so bei einem Paradoxon
BTW, ähnlich: Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweis durch Widerspruch: Gäbe es uninteressante Zahlen, dann gäbe es unter ihnen eine kleinste uninteressante Zahl -- offensichtlich eine höchst interessante Eigenschaft!
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Ja, das ist auch ganz nett.Wußtest Du eigentlich, daß die überwiegende Mehrheit der Menschen überdurchschnittliche viele Beine hat?
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Jester schrieb:
Wußtest Du eigentlich, daß die überwiegende Mehrheit der Menschen überdurchschnittliche viele Beine hat?
Es gibt Menschen mit 0 oder 1 Beinen, aber keinen mit 3. Also liegt der Durchschnitt wohl etwas unter 2, wo die überwiegende Mehrheit aber eindeutig drüber liegt.
