Folgen (Konvergenz)

nep

Hi,
Ich hab da eine Aufgabe bei der ich einfach nicht weiterkomme. Und zwar:
" Gegeben ist die Folge an. Ab welchem n0 e N gilt |an - a| < ε mit ε = 10^-1, ε = 10^-3 usw.

an = 1 / 2^(n-1) "

Mein Ansatz war jetzt so: Vermutung, dass a = 0 ist. DAnn hab ich dastehen:
|an - 0| < ε = |(1 / 2^(n-1) - 0)| < ε
Da 1 / 2^(n-1) für jedes n e N größer als Null ist, entfallen die Betragsstriche, so dass ich dann folgendes hab:
1 / 2^(n-1) < ε

Und jetzt muss ich das ja irgendwie nach n auflösen, so dass ich n in Abhängigkeit von ε darstellen kann. Aber hier komm ich halt nicht weiter...

Jester

Du hast es fast geschafft! Der Rest ist eigentlich easy.
Einfach noch mit 2^(n-1) durchmultiplizieren, durch ε teilen... und Wurzel ziehen...

MfG Jester

scrub

*too slow*

nep

Danke erst mal
Also ich hatte ja:

1/2^(n-1) < [e]epsilon[/e]  | * 2^(n-1)
=> 1 < [e]epsilon[/e]*2^(n-1)  | * (1/[e]epsilon[/e])
=> 1/[e]epsilon[/e] < 2^(n-1)

Und dann ? Also was ich mir überlegt hatte das ich ja sagen kann, dass 2^(n-1) = 2^n * 2^-1 ist. Also dann hätte ich:

1/ε < 2^n * 2^-1
Dann könnte ich ja mit 2^-1 durchmultiplizieren und hätte dann:
1/(ε*2^-1) < 2^n

Wie bekomm ich das dann hin dass ich n in abhängigkeit von ε ausdrücken kann ?

Abbadon

Mit dem Logarithmus zur Basis 2.

Daniel E.

1/eps < 2^(n-1)
lb(1/eps) < (n-1) lb(2)
lb(1/eps) + 1 < n
lb(2/eps) < n

wobei lb der Logarithmus zur Basis zwei ist.