Mengen...
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Wie kann man zeigen, dass
(A u
∩ (A u C) ∩ (B u C) = (A ∩ u (A ∩ C) u (B ∩ C) ist ?Dabei hat man die "normalen" Rechenregeln für Mengen zur Verfügung, also kommutativ, assoziativ, distributiv, adjunktiv etc...
Ich gehe ja normal so vor, dass ich mir z.B. den linken Teil vornehme und versuche den so umzuformen dass er wie der rechte Teil aussieht, denke ich mal. Nur weiß ich irgendwie nicht wie ich da genau vorgehen soll. Ich hab z.B. einfach mal das Distributivgesetz angewandt, aber dann sah es auch nicht wirklich besser aus...
P.S. Wenn mir jemand ne Möglichkeit zeigt, wie man den Durchschnitt zweier Geraden mengentheoretisch darstellen kann, wäre ich ihm auch sehr dankbar.
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da ich die üblichen mengenrechnenregeln nicht kenne, frage ich google und finde
http://www.math.uni-siegen.de/numerik/notes/ANAOnline/node4.html
und die verwende ich auch. und ich nehme genau den von dir angefangegen weg. bin
nur cooler drauf als du und ziehe es durch *grins*.(A u
∩ (A u C) ∩ (B u C)
//erstmal linken ausdruck klammern, damit ich mir ihn besser unahängig vom rest angucken kann
= asso
((A u ∩ (A u C)) ∩ (B u C)
//eigentlich kommt jetzt distri, genau wie du machtest. aber ich will erst mal den den linkeb teil kleiner hinschreiben, damit ich mir keinen wolf tippe
= distri (ups, ist ja auch distri, aber noch nicht das große verwirrende)
(A u (B ∩ C)) ∩ (B u C)
//und hier fällt mir nix mehr ein, also
= distri (groß und verwirrend)
((A u (B ∩ C)) ∩ u ((A u (B ∩ C)) ∩ C)
//also innendrin das (B ∩ C) gefällt mir saugut. ich pinne es mal fest. ich hab so im gefühl,
daß es nicht mehr kaputtgehen muss und sich bis zum ziel hält. ich sichere das ab und hab zugleich ne schreibvereinfachung.
#define X (B ∩ C)
= define
((A u
∩ u ((A u ∩ C)
//ich pappe mal marker über die operatoren, die ich gerade erst gemacht habe:
* * *
((A u ∩ u ((A u ∩ C)
//die markierten ops habe ich gerade erst gemacht, und wenn ich sie mit distri wieder auflöse,
//gehe ich bloß einen schritt zurück. ich muss also die anderen knacken.
//kann ich aber nicht. distri wandelt immer gleich auf zwei klammerebenen die ops um.
//war ein doofer gedanke.
//naja, egal. war zwar doof, aber es fühlt sich für mich gut an. ich greife
//das verbleibende ∩ an. zuerst nur links
= distri
(((A ∩ u (X ∩ B)) u ((A u ∩ C)
//dann rechts
= distri
(((A ∩ u (X ∩ B)) u (((A ∩ C) u (X ∩ C))
= define
(((A ∩ u ((B ∩ C) ∩ B)) u (((A ∩ C) u ((B ∩ C) ∩ C))
//hmm. und nu?
//das sieht ja fast klasse aus.
//angenommen, ich hätte die rechenregel
//(B ∩ C) ∩ B = (B ∩ C)
//, dann wäre alles noch viel besser. ich hab im gefühl, daß es die gibt. beweis auf später verschoben.
= tolle rechenregel
(((A ∩ u (B ∩ C)) u (((A ∩ C) u ((B ∩ C) ∩ C))
= tolle rechenregel
(((A ∩ u (B ∩ C)) u (((A ∩ C) u (B ∩ C))
= asso
((A ∩ u (B ∩ C) u (((A ∩ C) u (B ∩ C))
= asso
((A ∩ u (B ∩ C) u (((A ∩ C) u (B ∩ C))
= außenklammen dürfen immer fallen
(A ∩ u (B ∩ C) u (((A ∩ C) u (B ∩ C)
//ups, habe ja anscheinen schon viele klammen fallen gelassen, die man nicht fallenlassen darf.
/egal, rechenfehler ändern ja nichts an der richtigkeit, wenn man glück hat.
//ich korrigiere die klammern willkürlich
= willkür
(A ∩ u (B ∩ C) u ((A ∩ C) u (B ∩ C))
= asso
(A ∩ u (B ∩ C) u (A ∩ C) u (B ∩ C)
= kommu
(A ∩ u (A ∩ C) u (B ∩ C) u (B ∩ C)
= kommu
(A ∩ u (A ∩ C) u ((B ∩ C) u (B ∩ C))
//und schon wieder fehlt mir ein gesetz. ich hätte gerne
//X u X = X
= andere tolle rechenregel
(A ∩ u (A ∩ C) u (B ∩ C)
qed.zu zeigen war noch X u X = X
nach definition der vereinigung
X u X := {x elem C | x elem X oder x elem X}
nu weiß ich aus der logik aber, daß "x elem X oder x elem X"="x elem X".
also
X u X := {x elem C | x elem X oder x elem X}
= {x elem C | x elem X}
= Xzu zeigen war noch
(B ∩ C) ∩ B = (B ∩ C)
das geht genauso, bei "x elem B und x elem C und x elem B" darf ein "x elem B" rausfliegen.
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nep schrieb:
P.S. Wenn mir jemand ne Möglichkeit zeigt, wie man den Durchschnitt zweier Geraden mengentheoretisch darstellen kann, wäre ich ihm auch sehr dankbar.
ähm. geraden SIND doch mengen. wo ist sich das problem.
seien A und B zwei geraden. dann wird der durchschnitt hingeschrieben als A ∩ B.
oder haste die geraden irgendwie gegeben, so daß sie gar nicht wie mengen aussehen? falls de geraden nicht senkrecht gehen, kann man sie auf einem koordinatensysem fein darstellen mit so ner formel.
A: y=2x+5
B: y=3x-17
naja, andere leute schreiben eben
A={(x;y) elem R^2 | y=2x+5}
B={(x;y) elem R^2 | y=3x-17}
bis auf die leicht andere schreibweise ist da kein unterschied.
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> mit so ner formel.
das heißt Prädikat (Prädikatenlogik)
