Abbildungen (injektiv)

Hallo!

Kann mir jemand bei dem folgenden Problem weiterhelfen?

Wenn g o f (Komposition der beiden Abbildungen) injektiv ist, wie kann ich beweisen, dass auch f injektiv ist.
Und folgt auch, dass g injektiv ist?

LG sunrise

freshman

injektiv: jeder Bildpunkt hat genau einen Ursprung
außerdem: da es sich um Funktionen handelt wird jedes Element aus der Ursprungsmenge auf genau einen Bildpunkt abgebildet
Beweis über Gegenrichtung:
Annahme: f nicht injektiv dh f(a)=f(b)=c
=> g o f (a) = g o f (b) = d
dh a und b werden auf denselben Zielpunkt abgebildet
=> g o f nicht injektiv !Widerspruch!

freshman

[edit]//sorry;-)
Annahme: g nicht injektiv, d.h.
Sei
f(a)=c
f(b)=d
und
g(c)=y
g(d)=y

=> gof (a) = y & gof (b) = y
=> dann ist auch gof nicht injektiv

Erstmal dankeschön, freshman!! :-)))

Aber eines verstehe ich noch nicht:

Wieso ist in deinem letzten Bsp. g o f injektiv?
Injektiv bedeutet ja, dass ein Bildpunkt höchstens von einem Element der Ursprungsmenge abgebildet werden darf.

Hier bildet aber die Elemente a und x der Ursprungsmenge beide auf d ab.
Dann ist doch g o f nicht injektiv, oder? *grübel*

Gruß sunrise

freshman

sorry, weiß auch nicht was ich da gemacht habe (peinlich)
habe gerade meinen post editiert; so müßte es abrer stimmen

SG1

freshman schrieb:

[edit]//sorry;-)
Annahme: g nicht injektiv, d.h.
Sei
f(a)=c
f(b)=d
und
g(c)=y
g(d)=y

=> gof (a) = y & gof (b) = y
=> dann ist auch gof nicht injektiv

Schön, das ist jetzt ein Beispiel, wo zufällig g und gof beide nicht injektiv sind. Für den allgemeinen Fall heisst das aber nichts.

Beispiel:
f:{a,b}->{c,d}
g:{c,d,e}->{a,b}
f(a)=c, f(b)=d, g(c)=a, g(d)=b, g(e)=a
gof ist die Identität, also injektiv. g aber nicht.

mathik

sunrise schrieb:

Hallo!

Kann mir jemand bei dem folgenden Problem weiterhelfen?

Wenn g o f (Komposition der beiden Abbildungen) injektiv ist, wie kann ich beweisen, dass auch f injektiv ist.
Und folgt auch, dass g injektiv ist?

LG sunrise

das sind zu wenig informationen! denn ich kann dir eine nicht injektive funktion f angeben, wo aber g o f injektiv ist.
z.b.

g : {a} -> {1}
f : {1, 2} -> {b}

g(a) = 1
f(1) = b
f(2) = b

auf welchen mengen wird denn abgebildet?

Gruß mathik

SG1

@mathik: Ich geh mal stark davon aus, dass sunrise (gof)(x) als g(f(x)) und nicht als f(g(x)) versteht.