4. Vektorräume

Vektorräume

  • ?

    Hallo mal wieder,

    die Definition von Vektorräumen und co. hab ich ja halbwegs verstanden, bräuchte jetzt aber doch mal wieder eure Hilfe:

    Und zwar soll ich folgenden Zusammenhang beweisen:

    <u1,...,uk> = <a1u1,...,akuk>

    gegeben ist dazu folgendes:

    <u1,...,uk> (Teilmenge / gleich) V

    a1,...,ak € R \{0}

    Ich denke mir, dass ich beweisen muss, dass Teil 1 Teilmenge von Teil 2 ist und umgekehrt, aber ich finde absolut keinen Ansatz...

    Wäre nett, falls mich mal jemand von der Leitung
    heben würde auf der ich stehe...

    mfg Luetti

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  • ?

    Hallo

    Ich denke mir, dass ich beweisen muss, dass Teil 1 Teilmenge von Teil 2 ist und umgekehrt, aber ich finde absolut keinen Ansatz...

    Genau so musst du es machen.

    Sei also V ein IR-Vektorraum und
    αi∈R−{0}\alpha_i \in \mathbb{R} - \{0\}

    Zu zeigen ist
    <v_1,...,v_k>=<α_1v_1,...,α_kv_k><v\_1,...,v\_k> = <\alpha\_1 v\_1,..., \alpha\_k v\_k>

    Nach Definition ist
    <v_1,...,v_k>={v∈V∣∃λ_1,...,λ_k∈R:v=∑i=1kλ_iv_i}<v\_1,...,v\_k> = \{ v \in V | \exists \lambda\_1,...,\lambda\_k \in \mathbb{R} : v = \sum_{i=1}^k \lambda\_i v\_i \}
    und
    <α_1v_1,...,α_kv_k>={v∈V∣∃λ_1′,...,λ_k′∈R:v=∑i=1kλ_i′α_ivi}<\alpha\_1 v\_1,...,\alpha\_k v\_k> = \{ v \in V | \exists \lambda\_1',...,\lambda\_k' \in \mathbb{R} : v = \sum_{i=1}^k \lambda\_i' \alpha\_i v_i \}

    "⊂""\subset"

    Sei
    v∈<v_1,...,v_k>v \in <v\_1,...,v\_k>
    ⇒∃λ_i:v=∑_i=1kλ_iv_i\Rightarrow \exists \lambda\_i : v= \sum\_{i=1}^k \lambda\_i v\_i

    Nun gilt aber
    α_i≠0⇒∃α_i−1∈R\alpha\_i \neq 0 \Rightarrow \exists \alpha\_i^{-1} \in \mathbb{R}

    Wählt man nun
    λ_i′:=λ_iαi−1\lambda\_i' := \lambda\_i \alpha_i^{-1}
    so gilt
    ∑i=1kλ_i′α_iv_i=∑_i=1kλ_iα_i−1α_iv_i=∑i=1kλ_iv_i=v\sum_{i=1}^k \lambda\_i' \alpha\_i v\_i = \sum\_{i=1}^k \lambda\_i \alpha\_i^{-1} \alpha\_i v\_i = \sum_{i=1}^k \lambda\_i v\_i = v

    Da aber
    λ_i′=λ_iαi−1∈R\lambda\_i' = \lambda\_i \alpha_i^{-1} \in \mathbb{R}

    und somit
    ∑i=1kλ_i′α_iv_i∈<α_1v_1,...,α_kvk>\sum_{i=1}^k \lambda\_i' \alpha\_i v\_i \in <\alpha\_1 v\_1,...,\alpha\_k v_k>

    gilt aber auch
    v∈<α_1v_1,...,α_kv_k>v \in <\alpha\_1 v\_1,...,\alpha\_k v\_k>

    Das war die eine Richtung. Die Andere ist noch etwas einfacher. Schaffst du es selbst?

    Gruß, space

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  • ?

    Danke schön, das klingt ja fast alles einleuchtend..
    aber warum ist das, was in dem 10. hellen Kästchen steht v?

    Ich hab mich an der anderen Richtung versucht, aber bin dennoch gescheitert!!

    Kannst du mir noch mal helfen?

    Mfg Luetti

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  • J

    Warum so kompliziert? Es genügt doch, daß die erzeugenden jeweils im anderen Raum enthalten sind.

    Das ist aber wegen alpha_i != 0 trivialerweise erfüllt.

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  • T

    ...und die Dimension beider Räume gleich groß ist. Das ist aber offensichtlich
    auch erfüllt.

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  • J

    Taurin schrieb:

    ...und die Dimension beider Räume gleich groß ist.

    Das folgt doch aus dem gegenseitigen Enthaltensein der Erzeugendensysteme. Mußt Du also nicht voraussetzen.

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  • T

    Ok, hast recht 🙂

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  • ?

    Im Laufe der Woche hab auch ich es geschafft!!! @ Jester: DANKE!

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  • ?

    Vielmehr eigentlich DANKE an space!!! (sorry 🙂 )

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