Matrix invertieren?

Hallo,
ich sitze vor einer Matheaufgabe und komme nicht so zurecht, vielleicht ist hier wer, der mir helfen könnte?

Invertiere die Matrix modulo 26:

23   13   3
K=  21   17   4
    13    4   13

Wieviele modulo 26 invertierbare Matrizen gibt es in Dimension d=2?

Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Danke.

Fischi

(1)

Du bestimmst ganz einfach das Ergebnis in den rationalen Zahlen.

Deine Matrix liefert:

\[ A^{ - 1} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{205}}{{1431}}} & {\frac{{{\rm{ - 157}}}}{{{\rm{1431}}}}} & {\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1431}}}}} \\ {\frac{{ - 221}}{{1431}}} & {\frac{{260}}{{1431}}} & {\frac{{ - 29}}{{1431}}} \\ {\frac{{ - 137}}{{1431}}} & {\frac{{77}}{{1431}}} & {\frac{{118}}{{1431}}} \\ \end{array}} \right) \]

Jetzt kannst du mit 1431 multiplizieren, da dies die 1 in F26 ist.
Dadurch erhälst du:

\[ A^{ - 1} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {205} & {{\rm{ - 157}}} & {\rm{1}} \\ { \- 221} & {260} & { - 29} \\ { \- 137} & {77} & {118} \\ \end{array}} \right) \]

eigentlich bist du schon fertig, aber du solltest die Elemente noch modulo 26
nehmen, damit du ordentliche Repräsentanten erhälst.
Also:

\[ A^{ - 1} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {23} & {{\rm{25}}} & {\rm{1}} \\ {13} & 0 & {23} \\ {19} & {25} & {14} \\ \end{array}} \right) \]

Viele Grüße
Fischi

[EDIT]
Hmm, ich habe nicht wirklich viel Wissen in dem Gebiet, aber ich denke dass
auch in diesen endlichen Vektorräumen immernoch gelten müsste, dass
det(A)*det(A^-1) = 1, d.h. du musst jetzt schauen ob der Wert der Determinante
invertierbar ist. Tipp: 2,4,6,8,10,12,13,14,16,18,20,22,24,0 haben
kein Inverses.
Jetzt musst du nur noch ein wenig abzählen...

Jester

Jo, der Satz gilt auch dort.
Die Inverse kannst Du auch einfach durch lösen der Gleichungssysteme mit den Standardbasisvektoren auf der rechten Seite berechnen. Dann mußt Du halt einfach in Deinem Ring rechnen, statt in Q. Dividieren in der Form wie Fischi es benutzt hat würde ich abraten. Denn man kann nicht durch alle Zahlen in Deinem Ring dividieren, und wenn man nicht aufpaßt hat man sich sehr schnell eine Division durch 0 eingefangen... und dann passiert wunderliches, wie auch immer wieder in einigen Threads hier zu sehen ist.

Btw.: die Schreibweise F26 wundert mich etwa, F steht ja normalerweise für field, also Körper. Das ist dieses Konstrukt aber nicht.

MfG Jester

Hallo,
danke für die Antworten!

Muss man erstmal die Inverse von K berechnen und dann mit modulo 26 arbeiten oder wie? So richtig habe ich die Aufgabe nicht verstanden.