Population - Vollständige Induktion

Populationsgesetz x(Index:n+1) = 500 * x(Index:n) / x(Index:n) + 100 (für n>=0)

Jetzt soll man mittels vollständiger Induktion zeigen, dass x(Index:n) >= 400 für alle n>=0 gilt.

Als Ausgangswert wurde z.B. x(Index:0) = 5000 gegeben. Probiert man aus, so findet man sofort die Folge: 5000, 490, 415, 402, 400, 400 ... mit dem Grenzwert 400.

Beispiel: x1 = 500 * 5000 / (5000 + 100) = 490 etc.

Frage: benötigt man dieses x(Index:0) = 5000 für die vollständige Induktion, oder kann man das auch allgemeiner machen?

Normalerweise geht man doch so vor, dass man für 1, n0 und n0+1 austestet, dann z.B. die Gln. für n0 in die für n0+1 einsetzt. Wenn nach Umformung die analoge Gln. für n0+1 resultiert wie die für n0, dann ist das Gesetz damit für 1 bis beliebige n bewiesen.

Hier fehlt mir allerdings der klare konkrete Ansatz, da man hier nicht mit n, sondern mit x(Index:n) rechnet. Könnt ihr mir bitte beim Ansatz helfen? Vielleicht ein Link auf ein analoges Beispiel?

Abbadon

Also Induktion funktioniert normalerweise so:
Ersteinmal hat man den Induktionsanfang bei n0 für den man nachrechnet ob die Aussage stimmt. Dann geht man davon aus, dass die Aussage für ein beliebiges n>=n0 stimmt und versucht daraus zu folgern, dass die Aussage auch für n+1 stimmen muss. Aber das weisst du ja schon.

Hier in diesem fall würde ich folgendermaßen vorgehen:
für x0 stimmt die Aussage x0=5000>400
jetzt gehst du davon aus, dass xn>=400 ist und schätzt damit deine formel für xn+1 ab. (tipp: schätz die folge ersteinmal nach oben hin ab, es gilt z.B. xn<=500 für n>=1, das reicht aber noch nicht)

PS: Ich glaub mein Vorgehen führt nicht zum Ziel... ist noch zu früh am Mogen

PPS: OK, vergess meinen Tipp von oben, zeige einfach dass kehrwert kleiner als 1/400 ist.

Thx. Gibt's hier auch Leute, die lösungsorientiert sind? Der Schritt von n nach n+1 klemmt leider noch.

Taurin

Der Ansatz steht doch schon da:

1 / x_n+1 = (x_n + 100) / (500*x_n)
          =  1/500 + 1/(5*x_n)
          <= ....

Mit der Indunktionsanahme jetzt versuchen, gegen 1/400 abzuschätzen.

Danke für die Umformung, hatte ich übersehen.

Wenn ich jetzt in die Formel für x_n+2 = f(x_n+1) die für x_n+1 einsetze, kommt folgendes raus:

1/x_n+2 = 6/2500 + 1/(25*x_n) <= 1/400

Wie kann man hier überzeugend argumentieren?
Das erste Summenglied ist 1/416,6667 also <= 1/400.

Man sieht, dass für alle x_n von 400 ... undendlich gilt, dass x_n+2 <= 400. Damit ist doch für alle n>=0 gezeigt, dass die Population immer über 400 bleibt, solange der Anfangswert x_n >= 400 ist.

Reicht das als Argumentation aus?

Irgendwie begreife ich allerdings nicht, wie ich hier die vollständige Induktion sauber anwende. Ich sehe nur, dass alle x_n+1, x_n+2 usw. größer/gleich 400 sind, solange x_n größer/gleich 400 ist. Das kann man durch Einsetzen von 400 als Grenzwert in die Formel vorführen. Reicht das so aus?

Uups, durch Ausprobieren sehe ich gerade, dass die Folge auch von kleineren Werten als 400 auf diesen Grenzwert 400 zuläuft. Da sind dann aber auch Folgenglieder <= 400 mit dabei. Nur der Grenzwert ist 400.

Wie kann man eigentlich beweisen, dass der Grenzwert 400 ist?

(:-) schrieb:

Wie kann man eigentlich beweisen, dass der Grenzwert 400 ist?

Da gib's nicht viel zu beweisen.
Du hast eine rekursiv berechnete Folge, bei der ab einem gewissen
Index n0 gilt: x(n0+1) = x(n0).
Dann gilt offenbar für alle n > n0 x(n) = x(no); die Folge ist also konstant
für "fast alle" Folgenglieder und die Konstante entspricht dem Grenzwert.

Jockel

Taurin

Noch einmal zur Induktion: Mit der feststellung, dass für alle mit n >= n0
x_n = 400 und für alle n < n0 x_n > 400 gilt, kannst du dir die Induktion
eigentlich sparen. Es sei denn, es ist Aufgabe, den Beweis auf diese oder
jene Weise zu führen.

Irgendwie begreife ich allerdings nicht, wie ich hier die vollständige Induktion sauber anwende.

Soll ich dir noch mal ne formal korrekte Induktion hinmalen?

ja bitte.

Taurin

Sei x_n+1 = (500*x_n) / (x_n + 100) für alle n >= 1 und x_0 = 5000

Behauptung: x_n >= 400 für alle n >= 0 

Indunktionsanfang (n=0): x_0 = 5000 >= 400  ok.
Induktionsannahme:       x_n >= 400 für ein festes (aber beliebiges) n >= 0
Induktionsschluss (n->n+1):

1 / x_n+1 = (x_n + 100) / (500*x_n)
          =  1/500 + 1/(5*x_n)
          <= 1/500 + 1/(5*400)   // mit der Induktionsannahme
          =  1/400

Also 1 / x_n+1 <= 1/400 
  => x_n+1 >= 400       qed.