Mathe 3. Semester //Ich bin faul

Abbadon

Hallo, kann mir jemand die Aufgabe hier lösen? Ich hab grad überhaupt keine Lust das selbst zu machen.

Sei $G$ eine endliche Gruppe. Zeige oder widerlege.

\begin{itemize}
\item[(1)] Ist $G/Z(G)$ abelsch, so ist $G$ abelsch.
\item[(2)] Ist G\stackrel{f}{\rightarrow} H ein Morphismus von Gruppen, so ist $f(G') = f(G)'$ .
\item[(3)] Ist G\stackrel{f}{\rightarrow} H ein Morphismus von Gruppen, so ist $f(Z(G)) = Z(f(G))$ .
\item[(4)] Es gibt eine einfache Gruppe von Ordnung $16$ .
\item[(5)] Sind alle Sylowuntergruppen von $G$ normal, so ist $G$ direktes Produkt ihrer Sylowuntergruppen.
\item[(6)] Seien $H,\, K\,\leq\, G$ , und sei $HK/K := \{ hK\, :\, h\in H\}\subseteq G/K$ . Es gibt eine Bijektion von $H/(H\cap K)$ nach $HK/K$ .
\item[(7)] Alle Komplemente eines Normalteilers in $G$ sind konjugiert in $G$ .
\end{itemize}$$

Mis2com

Hi,

na wenigstens bist du ehrlich.
Aber ich glaube kaum, dass dir irgendwer die Hausaufgaben macht, es sei denn, es ist eine Übung für sich selbst.

Die Aufgabe ist zu schwer. Das kann hier nur Jester.

Und der macht das hoffentlich nicht für dich.

Jester

Hinkriegen würd ich's wohl. Was ist mit der Notation Z(G) gemeint, das Zentrum? Was heißt G'?

Erzähl mal, wenn Du willst kann ich Dir dann später ein paar Tips geben.

Abbadon

Z(G) ist das Zentrum.
Mit G' ist die Kommutatorgruppe gemeint, also:

G':=\left[G,G\right]:=\left\langle \left[g,h\right]|g,h\in G\right\rangle\
wobei,\left[g,h\right]:=ghg^{-1}h^{-1}$$

Jester

Zu welchen Aufgaben brauchste nen Tip?

Abbadon

Naja die Aufgaben klingen eigentlich fast alle auf den ersten blick recht einfach.
Ich schätze mal dass ich bei Teil (6) und (4) die meisten Probleme haben werde.
Und bei Teil (7), was ist ein Komplement eines Normalteilers?

Jester

Nimm mal an, Du hast ne Gruppe mit 16 Elementen. Schau Dir mal die Sylow-gruppen dadrin an. Ist da vielleicht ein Normalteiler dabei?
sieht aus, als wäre es ebenfalls korrekt. Kenne es allerdings glaub ich nur mit K Normalteiler... dann findet man sogar nen Isomorphismus. Aber das kannst Du hier wohl nicht brauchen. Bleibt wohl nur nachzuschaun, wie groß die Mengen sind. Sind sie gleichgroß, so findet man auch ne Bijektion (die Mengen sind ja alle endlich).

Was die Komplemente eines Normalteilers sein sollen weiß ich leider auch nicht. Ein Komplement... ja, aber mehrere? Keine Ahnung.

Abbadon

zu 4:
Sylowuntergruppen gibts doch nur eine, nämlich die Gruppe selbst, die ist trivialerweise ein Normalteiler. Ich wüsste nicht wie mir das helfen kann.

Jester

Jo stimmt, da war ich etwas ungenau. Da muß man wohl mit etwas anderen Mitteln drangehen

Habt ihr Kompositionsreihen gemacht? Damit geht es ganz gut.
Oder Du zeigst von Hand daß es ne Untergruppe mit 8 Elementen gibt.

Die ist dann vom Index 2, also Normalteiler. Auch manchmal ganz praktisch ist es die Operation der Gruppe auf sich selbst zu betrachten und damit ne Einbettung in irgendne Permutationsgruppe zu kriegen. Wenn man zeigen kann, daß der Kern davon nichttrivial ist hat man nen Normalteiler gefunden.

MfG Jester

\begin{itemize}
\item[(1)] Ist $G/Z(G)$ abelsch, so ist $G$ abelsch.
\item[(2)] Ist G\stackrel{f}{\rightarrow} H ein Morphismus von Gruppen, so ist $f(G') = f(G)'$ .
\item[(3)] Ist G\stackrel{f}{\rightarrow} H ein Morphismus von Gruppen, so ist $f(Z(G)) = Z(f(G))$ .
\item[(4)] Es gibt eine einfache Gruppe von Ordnung $16$ .
\item[(5)] Sind alle Sylowuntergruppen von $G$ normal, so ist $G$ direktes Produkt ihrer Sylowuntergruppen.
\item[(6)] Seien $H,\, K\,\leq\, G$ , und sei $HK/K := \{ hK\, :\, h\in H\}\subseteq G/K$ . Es gibt eine Bijektion von $H/(H\cap K)$ nach $HK/K$ .
\item[(7)] Alle Komplemente eines Normalteilers in $G$ sind konjugiert in $G$ .
\end{itemize}$$

(1) falsch. Die Quaternionengruppe Q hat Z(Q) = {+1,-1} ==> |Q/Z(Q)| = 8/2 = 4 ==> abelsch, aber ij != ji (Q nicht abelsch). Es geht aber, wenn G/Z(G) zyklisch ist. (Folglich ist Inn(Q) ≈ Q/Z(Q) ≈ V₄.)
(2)
(3)
(4) falsch. Das Zentrum einer p-Gruppe ist nichttrivial und charakteristische Untergruppe, insbesondere Normalteiler.
(5) wahr. Alle Sylowuntergruppen normal ==> Genau 1 p-Sylowuntergruppe für alle p. Diese haben paarweise trivialen Schnitt (Elementordnungen sind Potenzen verschiedener Primzahlen) und somit ist G direktes Produkt von diesen.
(6) wahr. Betrachte den kanonischen Epimorphismus H --> HK/K. Dieser hat Kern H ∩ K und damit H/(H ∩ K) ≈ HK/K.
(7)

Jester

(6) funktioniert so aber nur, wenn K Normalteiler in H ist. Sonst kannste nicht mit dem Kern argumentieren. Die Bijektion die drunterliegt funktioniert natürlich aber trotzdem. Nur der Beweis ist ein bißchen aufwendiger hinzuschreiben.

Jester schrieb:

(6) funktioniert so aber nur, wenn K Normalteiler in H ist. Sonst kannste nicht mit dem Kern argumentieren. Die Bijektion die drunterliegt funktioniert natürlich aber trotzdem. Nur der Beweis ist ein bißchen aufwendiger hinzuschreiben.

*g* ich hatte nicht genau hingeschaut, sondern nur das Muster des 2. Isomorphiesatzes erkannt und dann fälschlicherweise angenommen, dass K normal in G ist (==> HK Untergruppe von G mit Normalteiler K).

Korollar aus (6) für die Mächtigkeit des Komplexproduktes: Es ist |HK| = |H|*|K|/|H ∩ K|.

Mis2com schrieb:

Hi,

na wenigstens bist du ehrlich.
Aber ich glaube kaum, dass dir irgendwer die Hausaufgaben macht, es sei denn, es ist eine Übung für sich selbst.

Ich mag dich nicht, ist das klar? Deine Art ist nervend!

Geh sterben.

Jester

Wie schön, daß Du Dich da sogar nach nem halben Jahr noch drüber aufregen kannst.

Geh spielen.