Schriftlich berechnen



  • Wie kann ich schriftlich berechnen:

    - Logarithmus zu einer beliebigen Basis
    - Wurzel aus einer Zahl

    Wie mache ich das schriftlich (ohne TR)?



  • Wurzel:
    http://www.diaware.de/html/wurzel.html

    Log´s warscheinlich mit den guten alten Log-Tabellen.



  • SeppSchrot schrieb:

    Wurzel:
    http://www.diaware.de/html/wurzel.html

    Log´s warscheinlich mit den guten alten Log-Tabellen.

    Danke.

    Gibt's auch ein Verfahren um die n-te (3,4,...) Wurzel aus einer Zahl zu ziehen?

    zu Log:
    Log-Tabellen? Geht das nicht auch schriftlich?



  • rewe schrieb:

    Log-Tabellen? Geht das nicht auch schriftlich?

    Doch, man muss halt gewisse log-Werte auswendig kennen und kann die anderen dann berechnen, wenn man weiß, dass eine multiplikation logarithmiert einer addition entspricht etc..



  • rewe schrieb:

    Gibt's auch ein Verfahren um die n-te (3,4,...) Wurzel aus einer Zahl zu ziehen?

    die 4. ist die 2. aus der 2.



  • volkard schrieb:

    rewe schrieb:

    Gibt's auch ein Verfahren um die n-te (3,4,...) Wurzel aus einer Zahl zu ziehen?

    die 4. ist die 2. aus der 2.

    Dieses Verfahren ist nicht sehr allgemein.

    Gibt es ein allgemeines Verfahren für die n-te Wurzel?
    So dass ich z.B. die 3-Wurzel aus 27 berechnen kann?



  • Ja, 3 ist die Antwort 🤡 .



  • nur für primzahlen, also 2.3.5.7.11.13.17 brauchste ein eigenes verfahren. sagen wir mal, das newtonsche näherungsverfahren. uih, ist nicht angenehm per hand zu rechnen.
    also regula falso oder schlichtes einschachteln (binäre suche nach dem x, wo f(x)==0 mit f(x):=x^n-a, um die n-te wurzel aus a zu finden).



  • Heron Verfahren ginge noch für die 3.



  • volkard schrieb:

    nur für primzahlen, also 2.3.5.7.11.13.17 brauchste ein eigenes verfahren. sagen wir mal, das newtonsche näherungsverfahren. uih, ist nicht angenehm per hand zu rechnen.
    also regula falso oder schlichtes einschachteln (binäre suche nach dem x, wo f(x)==0 mit f(x):=x^n-a, um die n-te wurzel aus a zu finden).

    Echt?
    Berechne mal schriftlich die 9-te Wurzel (keine Primzahl) aus 5159780352 . (= 12)



  • rewe schrieb:

    Echt?
    Berechne mal schriftlich die 9-te Wurzel (keine Primzahl) aus 5159780352 . (= 12)

    dann berechne ich doch mal die dritte aus der dritten. oh, du willst, daß ich jetzt die 3. wurzel aus ner 10-stelligen zahl finde. klar hab ich da ein problem mit der größe der zahl und es dauert ewig. das ändert aber nix daran, daß es reicht, zu wissen, wie man ne 3. wurzel berechnet, um eine 9. wuzel zu finden.

    aber weil ich kein computer bin, mach ich's auf menschen-art.

    von 5159780352 versuche ich erstmal, kleine primfaktoren abzustalten. die 2 ist offensichtlich.

    ich halbiere so lange, wie es geht:

    5159780352
    2579890176
    1289945088
    644972544
    322486272
    161243136
    80621568
    40310784
    20155392
    10077696
    5038848
    2519424
    1259712
    629856
    314928
    157464
    78732
    39366
    19683

    jetzrt suche ich primfaktoren von 19683...
    jo, quersumme ist 3. glück gehabt.
    19683
    6561
    2187
    729
    729
    81
    27
    9
    3
    1

    uih, das war aber extem viel glück. brauche gar keine größeren primfaktoren als 2 und 3.

    also 5159780352==218+39
    dann ist die 3. wurzel daraus 26*33
    ist 64*3*9
    ist 192*9
    ist 1920-192
    ist 1728

    aber so viel glück hat man selten.



  • rewe schrieb:

    Berechne mal schriftlich die 9-te Wurzel (keine Primzahl) aus 5159780352 . (= 12)

    Dritte Wurzel geht allgemein so: http://www-public.tu-bs.de:8080/~y0004251/kwurzel.htm



  • Zum Logarithmus:

    Brauche Erkärung zu folgenden Umformungen (Herleitung wäre super.):

    1.)
    x(1/n)=e(ln(x)/n)

    2.)
    alog b = 1/(blog a)

    3.)
    c^(alog b) = b^(alog c)



  • zu (1)
     e^(ln(x)/n) = (e^ln(x))^(1/n) = x^(1/n)
    
    zu (2)
     Gegenbeispiel: a = b = e
     a*ln(b) = e != 1/e = 1/(b*ln a) 
    
    zu (3)
     log(c) = log(c) * log(b)/log(b)
            = log(c^(log(b)) / log(b)
    
    => log(b) * log(c) = log(c^(log(b))
    => log(b^(log(c))  = log(c^(log(b))
    => b^(log(c)) = c^(log(b))
    => (b^(log(c)))^a = (c^(log(b)))^a
    => b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))
    


  • Taurin schrieb:

    zu (1)
     e^(ln(x)/n) = (e^ln(x))^(1/n) = x^(1/n)
    
    zu (2)
     Gegenbeispiel: a = b = e
     a*ln(b) = e != 1/e = 1/(b*ln a) 
    
    zu (3)
     log(c) = log(c) * log(b)/log(b)
            = log(c^(log(b)) / log(b)
    
    => log(b) * log(c) = log(c^(log(b))
    => log(b^(log(c))  = log(c^(log(b))
    => b^(log(c)) = c^(log(b))
    => (b^(log(c)))^a = (c^(log(b)))^a
    => b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))
    

    Die letzten beiden Zeilen ..

    Ist es nicht so richtig: 😕

    => b^(log(c)^a) = c^(log(b)^a)
    => b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))
    

    Oder ist das gleichbedeutend mit dem von dir?



  • => b^(log(c)^a) = c^(log(b)^a)
    => b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))
    

    Nö, das ist murks.
    Du hast da ja stehen, dass a*log(c) = log(c)^a
    Das würde ja bedeuten, dass es egal ist, ob du
    zwei Zahlen potenzierst oder multiplizierst.

    Und der Schritt von
    b^(log(c)) = c^(log(b))
    auf
    b(log(c)a) = c(log(b)a)

    ist auch falsch. Es muss tatsächlich so heißen wie bei mir. Das ()^a
    wende ich ja auf beide Seiten an und nicht nur auf die Logarithmen.



  • Taurin schrieb:

    => b^(log(c)^a) = c^(log(b)^a)
    => b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))
    

    Nö, das ist murks.
    Du hast da ja stehen, dass a*log(c) = log(c)^a
    Das würde ja bedeuten, dass es egal ist, ob du
    zwei Zahlen potenzierst oder multiplizierst.

    Und der Schritt von
    b^(log(c)) = c^(log(b))
    auf
    b(log(c)a) = c(log(b)a)

    ist auch falsch. Es muss tatsächlich so heißen wie bei mir. Das ()^a
    wende ich ja auf beide Seiten an und nicht nur auf die Logarithmen.

    Ok, glaub ich mal.

    Stimmt deine Umformung?

    => log(b) * log(c) = log(c^(log(b))
    

    Ich habe ein Beispiel gemacht:
    log(5)*log(9) != log(9^log(5))



  • Die stimmt, du hast dich verrechnet. Ich glaub, du solltest noch mal die Potenz- und Logarithmengesetzt lernen...



  • Taurin schrieb:

    Die stimmt. Ich glaub, du solltest noch mal die Potenz- und Logarithmengesetzt lernen...

    Hehe 😉
    Ich muss diese Gesetze gründlich repetieren stelle ich gerade fest ;-).



  • => log(b) * log(c) = log(c^(log(b))
    

    Kannst du mir vielleicht diese Umformung verständlich machen?

    EDIT: ich hab die Logarithmen- und die Potenzgesetze nachgeschlagen, aber diese Umformung kann ich beim Besten Willen nicht finden.


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