Lösungsansatz für eine Aufgabe gesucht

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Hallo,

Ich habe folgendes Problem:
Zur Abiturvorbereitung haben wir von unserem Mathelehrer Aufgaben bekommen. Ich kann sie auch alle lösen, nur bei zwei Teilaufgabe von dieser Aufgabe nicht:

Das Schaubild K_t schneidet die x-Achse im Punkt N_t. Die Tangente an K_t im Punkt P_t$\left( 2-t | \frac{2}{t}\cdot e^{2t-2} \right)$ schneidet die x-Achse im Punkt R_t.
Zeigen sie, dass das Dreieck N_tR_tP_t gleichschenklig ist.
Welche Beziehung muss t erfüllen, damit das Dreieck N_tR_tP_t rechtwinkling ist?
Zeigen sie, dass für t=1 diese Bedingung erfüllt ist.
Weisen sie nach, dass es im Intervall von [0,1;0,5] einen weiteren Wert von t gibt, für den das Dreieck rechtwinklig ist.

Es gilt übrigens: t > 0

Die Punkte habe ich alle errechnet, dann als Vektoren in R² betrachtet und nachgewiesen, dass das Dreieck rechtinkling ist.
Mein Ansatz für die 2. Teilaufgabe ist folgender:
Es muss gelten:
$|\vec{NR}|^2 = |\vec{NP}|^2 + |\vec{RP}|^2$
Nur erfüllt t=1 diese Bedingung leider nicht

Habt ihr einen Ansatz für mich? Ich glaube die Sache mit den Vektoren ist ... nicht richtig

MfG
overload

[Daniel E.]

over'load schrieb:

Habt ihr einen Ansatz für mich? Ich glaube die Sache mit den Vektoren ist ... nicht richtig

Hmm, ich hätte erwartet, daß es über das Skalarprodukt am einfachsen geht.

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Hätt ich ja auch selber drauf kommen können, danke!

Trotzdem hängst mei mir hier:
$\vec{NP}\cdot \vec{RP} = 0$

$-4 + \frac{4}{t^2}\cdot e^{4t-4} = 0$

$e^{4t-4} = t^2$

$(4t-4)\cdot \ln e = 2\cdot \ln t$

$2t-2 = \ln t$

Für t = 1 stimmt es, aber wie komm ich darauf?

MfG

[scrub]

hm? du hast die beziehung ermittelt. dann hast du gezeigt, daß t = 1 diese beziehung erfüllt.

damit ist die aufgabenstellung doch abgearbeitet, und worauf willst du jetzt noch kommen?

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Darauf:
Weisen sie nach, dass es im Intervall von [0,1;0,5] einen weiteren Wert von t gibt, für den das Dreieck rechtwinklig ist.

[Daniel E.]

Ein Dreieck hat, wie der Name verrät, drei Ecken und demzufolge drei (Innen-)Winkel. Such mal in den anderen Ecken, als da, wo Du gerade suchst.

[dEUs]

Hat euch der Mathelehrer auch die Funktion gegeben, welche das Schaubild Kt repräsentiert?

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@dEUs:
Ja, hat er (ohne wäre es schwierig die anderen Punkte zu berechnen ;)):
$f_t(x)=\left(\frac{x}{t}+1\right)\cdot e^{t-x}; x \epsilon \Re$
Die Punkte sind (so weit ich mich nicht verrechnet habe):
$N_t\left( -t | 0 \right)$

$P_t\left( 2-t | \frac{2}{t}\cdot e^{2t-2} \right)$

$R_t\left( 4-t | 0 \right)$

Tangente an P_t:
$t_{P_t}(x) = e^{2t-2}\left( \frac{4-x}{t} - 1 \right)$

@Daniel E.
Das Dreieck ist aber gleichschenklig. Es bleibt also nur ein Winkel zu untersuchen...

MfG

[scrub]

jedenfalls steht sie direkt über dem geposteten teil der gesamtaufgabe- ich hab das nämlich auch mal rechnen dürfen. hach das warn noch zeiten!

over'load, du hast doch die beziehung für t so schön hergeleitet. ich schreib sie dir mal anders auf: 0 = ln(t) - 2t + 2

das heißt doch nix anderes als: es sind nullstellen der funktion y(t) = ln(t) - 2t + 2 gesucht. jetzt klar?

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Nein, wie soll ich das lösen?

ich krieg das ln oder das e nicht weg, und da die Multiplikation an ner blöden Stelle ist, kann ich auch nicht nach ln(1) = 0 || -2t + 2 = 0 vorgehen...
Entweder bleibt bei mir:

ln√t = t + 1 oder √t = e^t+1

Oder seh ich da etwas Entscheidendes nicht?

MfG

[scrub]

kennst du den nullstellensatz?

[Jester]

Analytisch wirst Du das nicht lösen können. Aber Du sollst ja nur zeigen, daß da irgendwo ne Nullstelle ist. Also einfach mal beide Ränder einsetzen. Findet da ein Vorzeichenwechsel statt, dann wird wohl, weil die Funktion stetig ist dazwischen auch ne Nullstelle sein. (Nennt sich dann hochtrabend Zwischenwertsatz)

MfG Jester

[over'load]

Danke euch beiden für das Entfernen des Brettes.
Der Nullstellensatz (der hier, oder?: Wenn ein Polynom P(x) eine Nullstelle a hat, dann kann man es ohne Rest durch (x-a) dividieren.) bringt mich zwar nicht weiter, aber der Zwischenwertsatz (tolles Wort, werde ich morgen einbringen ;)) tut es

MfG

[scrub]

der zwischenwertsatz wurde mir als nullstellensatz beigebracht. ich meinte dasselbe.

[Jester]

Ich glaube scrub meinte dasselbe.

[dEUs]

over'load schrieb:

Mein Ansatz für die 2. Teilaufgabe ist folgender:
Es muss gelten:
$|\vec{NR}|^2 = |\vec{NP}|^2 + |\vec{RP}|^2$
Nur erfüllt t=1 diese Bedingung leider nicht

Doch, tut es. Du musst dich schlicht und einfach verrechnet haben