4. [Aussagenlogik] Beweis (A->B)<->(-B -> -A)

[Aussagenlogik] Beweis (A->B)<->(-B -> -A)

  • ?

    Hi,

    im Titel steht's schon, ich wüsste gerne, wie ich (A->B) <-> (-B -> -A) formal beweisen kann. Ich weiß, dass das das einfachste vom einfachen sein müsste ... das baut nicht gerade auf. Aber gut, so weit bin ich:

    Fall 1: (A -> 😎 -> (-B -> -A)
    Fall 2: (-B -> -A) -> (A -> 😎

    Und jetzt stecke ich fest. Ich würde gerne -> auflösen, aber weder das noch Wahrheitstabellen haben wir in der Vorlesung bisher gemacht. Jetzt komme ich nicht mehr weiter 😞

    Was ich weiß, ist, dass ich phi aus psi1 -> psi2 zeigen kann, indem ich -psi1 und psi2 zeige. Das haben wir so in der Vorlesung gemacht ... nur was bringt mir das?
    (-B -> -A) zeigen durch B und -A?

    Wäre für Hilfe dankbar.
    (Und ja, das ist Teil der Hausaufgabe, die weder Schein relevant noch benotet wird. Und das ist ja nur die "billige Auftakt-Aufgabe" ... die restlichen hoffe ich alleine lösen zu können, wenn ich die erste mal kapiert habe ...)
    Danke!

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  • ?

    Nachdem ich jetzt den ganzen Tag dran rumgebastelt hab *seufz* bin ich so weit:

    (A -> B -> -B) -> -A
    passt wegen Negation von psi1: (-A -> -B -> 😎 -> -A
    dann weiter:
    (A -> 😎 -> -B passt ebenfalls nach obigem Muster.
    Genau das selbe für Fall 2 auch nochmal und gut ist.

    Überzeugt das als Beweis?
    Ist es zulässig, die Negation einfach zu reinzuziehen?

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  • T

    Ich würd das über ne Wahrheitstafel machen und zeigen, dass

    (A => 😎 <=> (-B =>- A)

    eine Tautologie (also immer wahr) ist:

    A   B   A=>B  -A   -B  -B=>-A   (A=>B)<=>(-B=>-A)

0   0    1    1    1     1             1
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  • F

    Hier mal eine ausführliche Wahrheitstabelle:

    \begin{array}{cccccc} A & B & \neg A & \neg B & A\rightarrow B & \neg B\rightarrow\neg A\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\end{array}
    Das die beiden Aussagen äquivalent sind, sieht man jetzt sofort.
    Ich hoffe, das war gemeint (und hilft dir weiter) ...

    0
  • ?

    Ich danke euch beiden, aber leider hilft mir das nicht weiter. Wie ich im Anfanspost schon erwähnte ... aber Wahrheitstabellen haben wir noch nicht gemacht bzw der Dozent hat sie nicht eingeführt. Verlangt aber in der Aufgabenstellung "löse mit den bisher gezeigten Mitteln" und das sind die Mittel, die ich schon nannte.
    Schöne und einfache Wahrheitstabellen scheiden also aus. Ich verstehe auch nicht, warum der werte Mann mitten in die Thematik einsteigt, ohne Wahrheitstabellen auch nur mit einem Wort zu erwähnen. Mehr noch, er macht mir nicht den Eindruck, als wolle er das noch tun ... (stattdessen hat er jetzt mit Relationen angefangen *seufz*)

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  • B

    Aber dir ist schon klar, dass das für Außenstehende etwas schwer zu machen ist, wenn sie die erlaubten Mittel nicht kennen?

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  • ?

    Aus deinen ersten Beiträgen wird man nicht schlau.

    Gib mal etwas strukturierter wider, was du benutzen darfst.

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  • R

    @erstsemester,

    ich glaube Deinem post entnehmen zu können, dass Ihr in der Vorlesung festgestellt habt, dass die Aussagen $$(X \Rightarrow Y)$ und $$\neg X \vee Y$$ denselben Wahrheitswert haben.

    Um also

    (A⇒B)⇔(¬B⇒A)(A \Rightarrow 😎 \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow A)

    zu zeigen, zeigst Du

    $(A \Rightarrow 😎 \Rightarrow (\neg B \Rightarrow A)$ $\qquad \wedge \qquad (A \Rightarrow 😎 \Leftarrow (\neg B \Rightarrow A)$

    Also mit obiger Einsetzung

    $(\neg A \vee 😎 \Rightarrow (B \vee \neg A)$ $\qquad \wedge \qquad (\neg A \vee 😎 \Leftarrow (B \vee \neg A)$

    Weil $$X \Rightarrow X$$ immer wahr ist und $$X \vee Y$$ und $$Y \vee X$$ denselben Wahrheitswert haben, folgt dann die Behauptung.

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  • J

    oder auch einfach:

    X=>Y = -X v Y = -X v --Y = --Y v -X = -Y=>-X

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  • B

    ratatosk: Du hast die Behauptung falsch übernommen. Damit der Beweis trotzdem "stimmt" hast du die Definition der Implikation zweimal falsch eingesetzt.

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  • R

    Huch. Du hast recht. Schreibfehler und dann nur copy&paste. Sorry.

    Aber wenn man es weiß, dann brauch man nur an den drei betreffenden Stellen (immer dort wo $$(\neg B \Rightarrow A)$$ steht) ein Negationszeichen vor A zu setzen und das ganze müßte wieder stimmen. 😉

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  • B

    Hm stimmt, und ich war überzeugt, das wär fundamental falsch ... sorry 🙂

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  • N

    Habe LOgik en Masse im Studium gehabt.

    Unser professor hat was sehr interessantes programmiert:

    http://www.inf.ethz.ch/personal/staerk/prop/index.html

    Ich hoffe Ihr versteht das System des natürlichen schliessens (NS).
    Weil dann könnt ihr alle logischen aussagen auf True/false/tautologie/unerfüllbar testen und der proofassistant beweist es euch auch noch gerade.

    Echt sexy.
    ALso fragt nie wieder, um einen logischen beweis sondern lässt ihn automatisch vom proof assistant lösen

    Mit besten Grüssen
    Andrin von Rechenberg

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