4. [Aussagenlogik] Beweis (A->B)<->(-B -> -A)

[Aussagenlogik] Beweis (A->B)<->(-B -> -A)

  • F

    Hier mal eine ausführliche Wahrheitstabelle:

    \begin{array}{cccccc} A & B & \neg A & \neg B & A\rightarrow B & \neg B\rightarrow\neg A\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\end{array}
    Das die beiden Aussagen äquivalent sind, sieht man jetzt sofort.
    Ich hoffe, das war gemeint (und hilft dir weiter) ...

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  • ?

    Ich danke euch beiden, aber leider hilft mir das nicht weiter. Wie ich im Anfanspost schon erwähnte ... aber Wahrheitstabellen haben wir noch nicht gemacht bzw der Dozent hat sie nicht eingeführt. Verlangt aber in der Aufgabenstellung "löse mit den bisher gezeigten Mitteln" und das sind die Mittel, die ich schon nannte.
    Schöne und einfache Wahrheitstabellen scheiden also aus. Ich verstehe auch nicht, warum der werte Mann mitten in die Thematik einsteigt, ohne Wahrheitstabellen auch nur mit einem Wort zu erwähnen. Mehr noch, er macht mir nicht den Eindruck, als wolle er das noch tun ... (stattdessen hat er jetzt mit Relationen angefangen *seufz*)

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  • B

    Aber dir ist schon klar, dass das für Außenstehende etwas schwer zu machen ist, wenn sie die erlaubten Mittel nicht kennen?

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  • ?

    Aus deinen ersten Beiträgen wird man nicht schlau.

    Gib mal etwas strukturierter wider, was du benutzen darfst.

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  • R

    @erstsemester,

    ich glaube Deinem post entnehmen zu können, dass Ihr in der Vorlesung festgestellt habt, dass die Aussagen $$(X \Rightarrow Y)$ und $$\neg X \vee Y$$ denselben Wahrheitswert haben.

    Um also

    (A⇒B)⇔(¬B⇒A)(A \Rightarrow 😎 \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow A)

    zu zeigen, zeigst Du

    $(A \Rightarrow 😎 \Rightarrow (\neg B \Rightarrow A)$ $\qquad \wedge \qquad (A \Rightarrow 😎 \Leftarrow (\neg B \Rightarrow A)$

    Also mit obiger Einsetzung

    $(\neg A \vee 😎 \Rightarrow (B \vee \neg A)$ $\qquad \wedge \qquad (\neg A \vee 😎 \Leftarrow (B \vee \neg A)$

    Weil $$X \Rightarrow X$$ immer wahr ist und $$X \vee Y$$ und $$Y \vee X$$ denselben Wahrheitswert haben, folgt dann die Behauptung.

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  • J

    oder auch einfach:

    X=>Y = -X v Y = -X v --Y = --Y v -X = -Y=>-X

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  • B

    ratatosk: Du hast die Behauptung falsch übernommen. Damit der Beweis trotzdem "stimmt" hast du die Definition der Implikation zweimal falsch eingesetzt.

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  • R

    Huch. Du hast recht. Schreibfehler und dann nur copy&paste. Sorry.

    Aber wenn man es weiß, dann brauch man nur an den drei betreffenden Stellen (immer dort wo $$(\neg B \Rightarrow A)$$ steht) ein Negationszeichen vor A zu setzen und das ganze müßte wieder stimmen. 😉

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  • B

    Hm stimmt, und ich war überzeugt, das wär fundamental falsch ... sorry 🙂

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  • N

    Habe LOgik en Masse im Studium gehabt.

    Unser professor hat was sehr interessantes programmiert:

    http://www.inf.ethz.ch/personal/staerk/prop/index.html

    Ich hoffe Ihr versteht das System des natürlichen schliessens (NS).
    Weil dann könnt ihr alle logischen aussagen auf True/false/tautologie/unerfüllbar testen und der proofassistant beweist es euch auch noch gerade.

    Echt sexy.
    ALso fragt nie wieder, um einen logischen beweis sondern lässt ihn automatisch vom proof assistant lösen

    Mit besten Grüssen
    Andrin von Rechenberg

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