Gleichung lösen

dEUs

Hi Leute,

kann mir jemand erklären, wie ich folgende Gleichung löse??

$ex+e^{-x}=0$

Ich tät ma sagen die Lösung ist -1, aber nur durch die Methode des scharfen Hinsehens
Wie man das auflöst weiß ich auch gerade nicht.

dEUs

*g* danke so weit bin ich auch gekommen

Taurin

Etwas besseres als "scharf hinsehen" fällt mir nicht ein.
Eine Lösung ist x = -1, was sich durch Einsetzten bestätigt.

Formt man die Gleichung nach e^(-x) = -ex um, und stellt man sich
für beide Seiten den Graphen vor, sieht man, dass beide Graphen
nur die eine Schnittstelle haben.

Edit: na gut, zu spät

Zeige: -1 ist globales Minimum von f(x) = ex + e^(-x)

dEUs

Hm, schön ... Aber das gefällt mir irgendwie nicht, das Ergebnis ist dann zwar richtig und auch bewiesen, aber man muss auf diese -1 doch anders kommen als durch "scharfes Hinsehen" ...

Taurin

Manche Probleme lassen sich ohne weiteres nicht anderes lösen. Es gibt sogar
Probleme (insb. Integrale), bei denen man beweisen kann, dass sie nicht durch
elementare Umformungen gelöst werden können, aber durchaus eine Lösung haben,
die man dann aber nicht mehr hübsch hinschreiben können. Z.B. ∫exp(-x^2)dx
Hier sind wir sogar besser dran: Wir haben doch eine Lösung gefunden und festgestellt, dass es sogar die einzige ist. Was willst du mehr?

ethereal

vielleicht kann man mit dem logarithmus argumentieren...

e^-x = -ex [e]harr[/e] -x*ln(e) = ln(-x) + ln(e) [e]harr[/e] -x=ln(-x)+1 [e]harr[/e] ln(-x)+x=-1

x muss auf jeden fall schonmal negativ sein wg. ln, da nur auf R+ definiert.
und ln(1) is bekanntlich null. aber um das jetzt weiter korrekt auszuführen, hab ich keine zeit zum nachdenken. vielleicht übernimmt ein anderer ab hier ?

dEUs schrieb:

Hm, schön ... Aber das gefällt mir irgendwie nicht, das Ergebnis ist dann zwar richtig und auch bewiesen, aber man muss auf diese -1 doch anders kommen als durch "scharfes Hinsehen" ...

Extremum von f suchen und Zwischenwertsatz (hier nicht nötig).

dEUs

Taurin schrieb:

Was willst du mehr?

Dass es eine Hausaufgabe ist und meine Mitschüler sowas garantiert noch nicht können Deswegen kann ich fast nicht glauben, dass unsere Lehrerin uns sowas aufgibt. Das ist mein Problem mit diesem Lösungsweg

dEUs

ethereal schrieb:

vielleicht kann man mit dem logarithmus argumentieren...
e^-x = -ex [e]harr[/e] -x*ln(e) = ln(-x) + ln(e) [e]harr[/e] -x=ln(-x)+1 [e]harr[/e] ln(-x)+x=-1
x muss auf jeden fall schonmal negativ sein wg. ln, da nur auf R+ definiert.
und ln(1) is bekanntlich null. aber um das jetzt weiter korrekt auszuführen, hab ich keine zeit zum nachdenken. vielleicht übernimmt ein anderer ab hier ?

SO hab ich auhc schon gedacht. Aber bin da auch in einer Sackgasse gelandet, bzw hab nicht weiter nachgedacht, wie man das argumentativ lösen könnte, weil ich ja unbedingt ein x=-1 dastehen haben wollte

Taurin

Durch elementare Umformungen ohne "um die Ecke argumentieren" sehe ich
wenig Chancen. Um das x aus dem Exponenten zu bekommen, wendest du den ln an.
Dann hast du aber ein x im ln. Um den da raus zu bekommen: e-Funktion. Was nu? ln
Und dann? exp().......

dEUs

jo, in der endlosschleife bin ich auch festgesteckt ...

scrub

letztens hatten wir in der vorlesung ein ähnliches problem, als es um kodewortlängen ging. frage vom prof.: "und, sieht einer die lösung?.... nein? ah, wenn doch, gibts dafür den nobelpreis. also, analytisch hat man bis jetzt noch keine lösung finden können..."

soll heißen: du könntest zwar die nullstelle der funktion approximieren, aber analytisch gehts wohl eher nicht. falls ihr also diese annäherungsverfahren schon kennt, will die lehrerin wohl darauf hinaus. oder es reicht ihr, daß du begründest, warum es so nicht lösbar ist.

dEUs

ok, dank euch.

Taurin schrieb:

Durch elementare Umformungen ohne "um die Ecke argumentieren" sehe ich
wenig Chancen. Um das x aus dem Exponenten zu bekommen, wendest du den ln an.
Dann hast du aber ein x im ln. Um den da raus zu bekommen: e-Funktion. Was nu? ln
Und dann? exp().......

LambertW