Position des Abstandes zweier Geraden
-
Hi,
ich wollte gern wissen, ob es (mind.) einen expliziten Lösungsweg gibt, über den ich die Position bestimmen kann, wo zwei gegebene Geraden den minimalen Abstand haben.Ich will hierbei nur den Fall mit windschiefen Geraden betrachten.
Leider habe ich absolut keine Idee, wie ich das Problem lösen könnte.
Danke
-
zwei geraden haben an der stelle den geringsten abstand, an der sie sich kreuzen, es sei denn, sie sind parallel.
-
ansatz: du suchst eine gerade, die beide geraden senkrecht schneidet. der richtungsvektor dieser gesuchten geraden ist ein beliebiges vielfaches des kreuzprodukts der richtungsvektoren der beiden gegebenen geraden.
-
Müßte da nicht so was in der Art rauskommen:
d = \frac {\(r\_1\times r\_2} {\vert r\_1\times r\_2 \vert} \circ (b-a)?
(r1, r2 Richtungsvektoren der Geraden, a, b Punkte der Geraden)
Nur so eine Idee ... (also wahrscheinlih falsch)
-
@sborg
Ich brache eine Lösung für windschiefe Geraden.
@scrub
Soweit bin ich auch schon gekommen. Nur fehlt mir jetzt leider ein Punkt auf einer der beiden geraden.aber Danke.
Mir ist gerade noch eine Idee gekommen. Mal sehn, ob ihr mit mir da übereinstimmt.
Ich berteachte die beiden Geraden im R3. Dieser lässt sich in 3 Unterräume im R2 zerlegen. In wenigstens einem der 3 Unterräume müssen sich die Geraden ja schneiden. Somit kann ich die Schnittkoordinaten aus dem R2 in den R3 überführen und für beide Geraden die fehlende Komponente über die Geradengleichungen ermitteln.
Somit sollte ich doch die Punkte auf den Geraden erhalten, die den geringsten Abstand besitzen.Fragen, Meinungen, Zweifel oder Bedenken?
-
@fubar
So ermittle ich den Abstand der beiden Geraden.
-
Hups, erst lesen, dann antworten. Sorry. Denke noch mal drüber nach
-
Den Abstand zweier windschiefer Geraden kannst du ja mittels Hilfsebene errechnen.
Aber es gibt da auch eine Gleichung d(P,g) = |(a-p) x v| / |v| (a - Ortsvektor eines Punktes (hier nimmst du den Stützvektor der Geraden h); p - Stützvektor von g; v - Richtungsvektor von g)Jetzt errechnest du den Abstand. Dann gehts weiter mit dieser Gleichung!
Für den Orsvektor von P setzt du nun dort die Geradengleichung von h ein.
Dann rechnest du das einfach aus und setzt den errechneten Parameter in die Geradengleichung ein und erhälst einen Punkt. Das gleiche nochmal für die andere Gerade und du bekommst den zweiten Punkt.
Abstand der Punkte muss dann dem Abstand der geraden entsprechen.edit: Entschuldige meine LaTex-Unfähigkeit
-
daishi schrieb:
Fragen, Meinungen, Zweifel oder Bedenken?
hm.. ich weiß noch, daß es da eine fertige formel gab, die mir nur grad nicht einfällt (und ich könnte sie auch nicht herleiten).
daher würd ich jetzt im konkreten fall tatsächlich den (um-)weg über zwei hilfsebenen gehen.
-
@scrub
Meine Idee von vorhin scheint auf dem Papier zu funktionieren.
Mal sehn, ob der Computer das auch macht.
evtl. erinnerst Du dich wieder an die Formel@Griffin
Hättest mal bitte noch einen Zwischenschritt für mich.
Ich versteh leider Deine Idee nicht ganz.
-
Gib mir mal die beiden Geraden. Dann rechne ich dir das mal aus
-
Hier mal ein Beispiel:
g1:(-7;5;-1)+t*(4;0;-3)
g2:(-1;2;7)+s*(8;1;-6)
-
Also der Abstand der beiden Geraden:
d(g,h) = |(-7|5|-1)-(-1|2|7)x(8|1|-6)| / |(8|1|-6)|
= sqrt(1784)/sqrt(101) (LE)
Hoffe mal, ich hab mich da nicht vertan bisher
Nun mal mit der selben Gleichung weiter.
sqrt(1784)/sqrt(101) = |(-7+4s|5|-1-3s)-(-1|2|7)x(8|1|-6)| / |(8|1|-6|
sqrt(101)*sqrt(1784)/sqrt(101) = |(-10+3s|-100|-30+4s)|
Das rechnest du nun weiter aus und setzt den Wert für s in g2 ein und erhält einen Punkt.
Das gleiche Spiel nochmal umgedreht für g1.
Die beiden Punkten sollten den Abstand sqtz(1784)/sqrt(101) haben.
-
Griffin schrieb:
Also der Abstand der beiden Geraden:
d(g,h) = |(-7|5|-1)-(-1|2|7)x(8|1|-6)| / |(8|1|-6)|
= sqrt(1784)/sqrt(101) (LE)
Hoffe mal, ich hab mich da nicht vertan bisher
Naja, der Abstand ist eigentlich 10LE.
Macht aber nichts.Nun mal mit der selben Gleichung weiter.
sqrt(1784)/sqrt(101) = |(-7+4s|5|-1-3s)-(-1|2|7)x(8|1|-6)| / |(8|1|-6|
sqrt(101)*sqrt(1784)/sqrt(101) = |(-10+3s|-100|-30+4s)|
Das rechnest du nun weiter aus und setzt den Wert für s in g2 ein und erhält einen Punkt.
Das gleiche Spiel nochmal umgedreht für g1.
Die beiden Punkten sollten den Abstand sqtz(1784)/sqrt(101) haben.Ok, jetzt ist es mir klar geworden.
Ich versuche es mal damit und hoffe alles funktioniert.Danke nochmal
-
daishi schrieb:
Mir ist gerade noch eine Idee gekommen. Mal sehn, ob ihr mit mir da übereinstimmt.
Ich berteachte die beiden Geraden im R3. Dieser lässt sich in 3 Unterräume im R2 zerlegen. In wenigstens einem der 3 Unterräume müssen sich die Geraden ja schneiden. Somit kann ich die Schnittkoordinaten aus dem R2 in den R3 überführen und für beide Geraden die fehlende Komponente über die Geradengleichungen ermitteln.
Somit sollte ich doch die Punkte auf den Geraden erhalten, die den geringsten Abstand besitzen.Dieser Lösungsansatz ist Quatsch, da er nicht zur richtigen Lösung führen muss.
Ich habe jetzt aber eine Lösung gefunden, die funktioniert.
http://www.matheforum.de/read?t=23165&v=t