KoordinatenGeometrie

leech

Folgende Aufgabe:

Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte P1(4 / 0) und P2(8 / 4) läuft.
Desweiteren gibt es eine Parabel f in der Form y = ax². Nun soll man Abhängig von a die Gleichung einer Tangente, die parallel zu g ist und die Parabel schneidet, aufstellen.

Mein Vorgehen:

Zuerst errechnet man m von der Geraden g:

y2 - y1 4 - 0
m = -------- = ---- = 1
x2 - x1 8 - 4

Da t parallel zu g ist, gilt:

m von g = m von t
m von t = 1

Dann habe ich schon sowas:

t(x) = x + n

Nun gleichsetzten der Parabel f und der Tangente t:

ax² = x + n | - x - n
ax² - x - n = 0 | : a
x² -x/a - n/a = 0

p-q-Formel:

-p/2 +- sqrt( (-p/2)² - q)
x/2a +- sqrt( (....)...) //D = 0, da es nur einen Schnittpunkt gibt!

Also habe ich schon die X-Koordinate des Schnittpunktes S.

S ( x/2a / ? )

Nun setze ich dieses X in die Parabelgleichung ein:

y = ax²
y = a(x/2a)²
y = a(x²/4a²)
y = ax² / 4a

Also:

S( x/2a und ax² / 4a )

Nun ermittel ich n von der Tangente, indem ich den Punkt S einsetze:

y = x + n
ax² / 4a = x/2a + n |-x/2a
n = ax² / 4a - x/2a | x/2a mit 2 erweiten
n = ax² / 4a - 2x/4a | vereinfachen

ax² - 2x
n = --------
4a

n in die Tangentengleichung einsetzen:

ax² - 2x
y = x + -------- | /x
4a

ax - 2
y = 1 + ------
4a

Das ist mein Ergebnis... aber stimmt das auch?

Alexander Sulfrian

Hi,
was mir so beim schnellen durchlesen auffällt:

ax² - 2x
y = x + -------- | /x
           4a 

führt zu

y       ax - 2
- = 1 + ------
x         4a

also ist das erste das Ergebnis nicht das letzte....

MfG

Alexander Sulfrian

PS: Könnte sein, dass ich noch was übersehen habe...

leech

aber irgendwie muss ich ja das x² weg bekommen, da die Tangente ja eine Gerade ist und keine Parabel...

Jester

Hast Du's mal mit ner Ableitung versucht?

m = f'(x) = 2*a*x => x = m/(2*a)

dort liegt also der Berührpunkt der Tangenten.

MfG Jester

leech

in der schule während der klausur hatte ich folgendes ergebnis:

y = ax + 1 - 1/2a

kommt dieses ergebnis schon näher an die lösung ran?

Jester

a*x klingt schonmal nicht so gut. Die Gerade soll schließlich parallel zu der vorgegebenen Geraden sein, kann sich also nicht mit dem a verändern. Ich würde eher eine konstante Steigung und einen (in a) Variablen y-Achsen-Abschnitt erwarten.

leech

ja das ist schon logisch... aber man muss es ja rechnerisch zeigen und bei mir kam (dummerweise) das heraus..

Jester

Dann führ doch mal meine Rechnung von oben fort: ich hab Dir schließlich schon die x-Koordinate des Berührpunktes ausgerechnet. Das jetzt mal in die Parabel einsetzen => y = m^2/(4*a2).

Eine Gerade aufstellen, die durch diesen Punkt geht und sie Steigung m hat sollte nicht weiter schwierig sein, oder?

leech

jo passt....

y = x - 1/4a

naja... vielleicht bekomme ich ja trotzdem noch ne 1 in der klausur.... der rest sollte sonst richtig sein....

aber danke für die hilfe... schon wieder etwas gelernt...

leech

ich habe meinen eigenen fehler in dem ersten post gefunden....

x/2a +- sqrt( (....)...) //D = 0, da es nur einen Schnittpunkt gibt!

da habe ich gedacht, dass x = x/(2a) ist... es ist aber x = 1/ (2a)!!!!

toll verrechnet in der matheklausur.... naja... die folge ist ja richtig und die idee und so alles richtig... nur dieser schei**** fehler... mann mann mann *kopfschüttel*