0,999999 Periode 9 = 1
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Jo, aber der Beweis ist so trivial... wie gesagt einfach die Reihe 9*10^-n mit n=1..unendlich anschaun. Über die Konvergenz sind wir uns hoffentlich einig, da 1 sicher >= diesem Grenzwert ist. Dann können wir diese Reihe auch mit 10 multiplizieren. Das können wir aber genausogut komponentenweise tun. Dann eine Indexverschiebung und die Reihe wieder bei 1 anfangen lassen indem man den ersten Summanden rausspaltet.
Wir nutzen übrigens 10*0.9... = 9.9..., nicht daß es gleich 10 ist. Insofern versteh ich nicht wo das Problem ist. Wie man mit 10 multipliziert ist klar, und das geht mit allen Zahlen. Also auch mit dieser.
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Die Rückrichtung ist auf jeden Fall so nicht korrekt.
Aus 9 * x = 9 kann ich nicht folgern, dass 10 * x = 9,9999... ist, da bei der Rückrichtung vorausgesetzt wird, dass x = 1 ist und nicht dass x = 0.9999... ist. Dies ist bei der Rückrichtung die Behauptung, darf also nicht benutzt werden. -> Zirkelschluss.
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Jo, das macht aber nix. Wir haben gezeigt: x=0.9999... => x = 1
Also: 0.9999... = 1, da = Äquivalenzrelation (insbes. transitiv). Daß die Gleichheit auch in der "anderen Richtung" gilt brauchen wir nicht extra beweisen, da = auch symmetrisch ist.
MfG Jester
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Das ist mir schon klar, ich wollte nur anmerken, dass die Rückrichtung nicht mit der niedergeschriebenen Argumentationslinie bewiesen wurde sondern mit dem Argument, welches du gebracht hast.