Morphismus
-
Hi,
Ich hoffe mal, dass mir jemand bei folgender Aufgabe helfen kann:
"Untersuchen Sie die Abbildung f: x -> e^x auf R auf Morphismuseigenschaft"
Ich weiß gar nicht was ich da machen soll... ich weiß irgendwie nur, dass bei einem (Homo)morphismus, das Bild der Verknüpfung praktisch der Verknüpfung der Bilder entspricht, aber das wars auch schon... Wie geht man an sowas ran ?Und eine allgemeine Frage hab ich da auch noch: Wie seid ihr eigentlich im Studium mit Theoretischer Informatik zurecht gekommen ? Bei mir ist das irgendwie so, dass ich in den Vorlesungen eigentlich sogar ganz gut mitkomme und es zumindest theoretisch verstehe, aber wenn ich dann selber eine (praktische) Aufgabe machen muss, steh ich oft da und weiß absolut nicht weiter
-
Für die Untersuchung der Exponantialfunktion: Schau Dir mal an, was ist f(a+b) und was ist f(a), was f(b) findest Du einen Zusammenhang?
MfG Jester
-
Hm also f(a+b) müsste dann ja was mit dem Potenzgesetz zu tun haben oder ? Also sprich e^x1 * e^x2 = e^(x1+x2). Ist f(a+b) dann einfach = x1+x2 ?
Und wäre f(a) dann einfach = e^x1 und f(b) = e^x2 ?Oder ist das totaler Quatsch ?
-
Ne, das ist richtig. Jetzt mußt Du es nur noch fertig zusammensetzen.
f(a+b) = e^(a+b) = e^a * e^b = f(a) * f(b)
Jetzt mußte Dir vielleicht noch überlegen von wo nach wo der Morphismus denn geht und was das für algebraische Strukturen sind. Mit R als Körper funktioniert es nämlich nicht, da f(a*b) nicht wirklich was sinnvolles gibt.
-
Hm das müsste doch dann sozusagen von R nach R+ gehen oder ? e^x kann ja nur positive Werte annehmen.
D.h. ich müsste dann A1(R, +) und A2(R+,
als algebraische Strukturen haben (also R+ hier im Sinne von alle reellen Zahlen > 0) ?
Aber auf jeden Fall schon mal vielen dank, hast mir echt geholfen
-
Jau, noch etwas genauer: (R,+) als additive Gruppe und (R+,*) als multiplikative Gruppe.
Die Exponentialfunktion ist also bezüglich diesen Gruppen ein Gruppenhomomorphismus. Außerdem besitzt er eine Umkehrtfunktion... und ist damit sogar ein Isomorphismus.
Wem's gefällt, der kann die Funktion auch noch aus dem Blickwinkel eines Topologen anschaun und die algebraische Struktur vergessen und sagen, daß exp einen Homöomorphismus (f stetig, f^-1 stetig) von R nach R+ definiert. Damit sind R, R+ also homöomorph.
Vielleicht kann man auch beides zusammen anschauen und kriegt dann ne topologische Gruppe... aber ich glaub jetzt schweife ich ab