analytische geometrie - tangenten

hallo, ich bin's mal wieder.
aufgabe: gegeben sind der kreis k und ein Punkt P. suche die gleichungen der beiden tangenten, die man vom punkt p aus an den kreis k legen kann. der punkt P befindet natürlich irgendwo außerhalb des kreises.
mein versuch:
die spaltform (T - M) * (P - M) = r^2 liefert mir eine gerade, die durch die berührpunkte der beiden tangenten führt. diese mit dem kreis schneiden und voilà man hat die berührpunkte. dann noch schnell die tangentengleichungen aufstellen und fertig.

allerdings frage ich mich, ob es nicht vielleicht einfacher geht.

schließlich stehen ja der abstand des punktes zum mittelpunkt und die tangenten in irgendeiner beziehung.
wenn PM=r ist, dann gibt es einen berührpunkt T=P, wenn PM=2 * sqrt(r) ist, dann sind die koordinaten der berührpunkte gleich M + MP/2 +/- normalvektor(MP/2)
kann man da nicht irgendwie eine allgemeine formel herleiten? ich glaub nicht, dass ich das kann (nach 3 stunden versuche geb ich's auf - steh ich auf der leitung?). vielleicht kann aber jemand von hier helfen?

rechener schrieb:

wenn PM=2 * sqrt(r) ist, dann sind die koordinaten der berührpunkte gleich M + MP/2 +/- normalvektor(MP/2)

sorry, meinte natürlich wenn PM = sqrt(2) * r ist

hm, stimmt die beziehung
$\frac{r}{\overline{PM}} = \cos{\alpha}$

ok, die formel für die berührpunkte ist anscheinend
T_{1,2} = M + \frac{\vec{MP}\*r^2}{\left|\vec{MP}\right|^2} \pm \frac{\vec{MP}}{\left|\vec{MP}\right|} \* r * \sin\arccos\frac{r}{\left|\vec{PM}\right|}

camper

sin (arccos(...)) ??? das kannst du aber besser

etwa
$\sqrt{1-\frac{r^2}{\left|\vec{PM}\right|}}$
?

das pm im nenner zum quadrat.

also insgesamt dann
T_{1,2} = M + \frac{\vec{MP}\*r^2}{\left|\vec{MP}\right|^2} \pm \frac{\vec{MP}\*r*\sqrt{\left|\vec{MP}\right|^2 - r^2}}{\left|\vec{MP}\right|^2}

cool, der flächeninhalt vom dreieck T1T2P ist dann
$A = r * \left(\overline{MP}^2 - r^2\right)^{\frac{3}{2}} * \overline{MP}^{-2}$
nur leider dürfen wir in der schule nicht darauf kommen, weil trigonometrie und winkelfunktionen ja nichts mit analytischer geometrie zu tun haben
ich bin gespannt, was meine professorin sagt, wenn ich diese formeln zur klausur morgen angebe, anstatt der gewünschten berührbedingung etc.
so kann man aus den 30 minuten beispielen nämlich ganz locker ein 5 minuten langes machen. ich freu mich schon auf morgen

camper

$\pm \frac{\vec{MP}}{\left|\vec{MP}\right|} * r * \sin\arccos\frac{r}{\left|\vec{PM}\right|}$

das kann so nicht stimmen; du brauchst ja nicht einen vektor in richtung MP. ganz ohne analytische geometrie wird das schwierig.

ja, hab ich nur vergessen zu schreiben. das sollte ein normalvektor sein. als
$\vec{n}_{\vec{PM}}$