Antisymmeterie / Reflexiv

Hi,

was ist der Unterschied zwischen Antisymmetrie und Reflexivität?

reflexiv: \forall a ( \in R) antisymmetrisch: \forall a,b ( \in R \and \in R \to a = b)

Läuft beides nicht auf das selbe hinaus?
Ich mein, wenn a immer gleich b sein muss, dann hab ich doch $\forall a (<a,a> \in R)$ oder nicht?

Sorry, Latex ist nicht mein Fall

"was ist der Unterschied zwischen Antisymmetrie und Reflexivität?

$reflexiv: \forall a (<a,a> \in R) antisymmetrisch: \forall a,b (<a,b> \in R \wedge <b,a> \in R \to a = b)$

Läuft beides nicht auf das selbe hinaus?
Ich mein, wenn a immer gleich b sein muss, dann hab ich doch $\forall a (<a,a> \in R)$ oder nicht?"

SG1

Nein. Sei $M = \{a,b\}, R = \{(a,a)\} \subseteq M^2$ . Dann ist R antisymmetrisch, aber nicht reflexiv.

Jester

Ein anderes Beispiel wäre bei einer Menge M mit mindestens 2 Elementen a,b wo die Relation gegeben ist als MxM. Die ist sicher reflexiv (jedes Element steht schließlich mit jedem in Relation), aber nicht anti-symmetrisch: (a,b) in MxM, (b,a) auch. Dennoch sind sie nicht zwangsläufig gleich.

Hm, ok, reflexiv bedeutet also, dass jedes Element mit jedem anderem Element in Relation steht?
Und antisymmetrisch bedeutet dann, dass eine Relation zweier Elemente nur mit sich selbst vorkommen darf? Also jedes Element mit sich in Relation steht "oder mit keinem" (= leere Menge ist antisymmetrisch)?

Bashar

Neuling2004 schrieb:

Hm, ok, reflexiv bedeutet also, dass jedes Element mit jedem anderem Element in Relation steht?

Nein, anders rum. Wenn jedes mit jedem in Relation steht, ist sie (auch) reflexiv.

Eine Relation ist reflexiv, wenn jedes Element mit sich selbst in Relation steht. Beispielsweise ist die Teilbarkeitsrelation auf positiven ganzen Zahlen reflexiv, weil jede Zahl durch sich selbst teilbar ist.

Und antisymmetrisch bedeutet dann, dass eine Relation zweier Elemente nur mit sich selbst vorkommen darf? Also jedes Element mit sich in Relation steht "oder mit keinem" (= leere Menge ist antisymmetrisch)?

Nein. Antisymmetrisch heißt, dass 2 verschiedene Elemente nur in einer Richtung in der Relation vorkommen dürfen. Ein Beispiel ist wieder die Teilbarkeit: Wenn a und b verschieden sind, dann ist entweder a durch b teilbar, oder b durch a teilbar, oder gar nichts davon. Auf keinen Fall ist a durch b und gleichzeitig b durch a teilbar.

camper

beispiele:

kleiner: a < b antisymmetrisch, nicht reflexiv

kleiner gleich: a <= b antisymmetrisch und reflexiv

ungleich: a != b nicht antisymmetrisch und nicht reflexiv

gleich: a = b nicht antisymmetrisch aber reflexiv

Ok, danke euch allen. Ich denke reflexiv hab ich kapiert.
Was antisymmetrisch angeht, könnte ich das dann auch so sagen:
antisymmetrisch: \forall a,b ( \in R \wedge a \ne b \to \not\in R )
?

Bashar

camper schrieb:

gleich: a = b nicht antisymmetrisch aber reflexiv

Doch die ist antisymmetrisch.

camper

Bashar schrieb:

camper schrieb:

gleich: a = b nicht antisymmetrisch aber reflexiv

Doch die ist antisymmetrisch.

stimmt.

nehmen wir als beispiel eben gleiche beträge:
|a| = |b| - dann klappt es (reelle zahlen)