Tangens
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Hallo,
ich habe eine Matheaufgabe zu lösen und komme einfach nicht dahinter:
Wieso folgt aus g(x) = arctan x : g'(x) = 1 / (1+x^2) ?
Kann mir da einer weiterhelfen?
Danke im voraus.
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guck dir mal das an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tangens
und das:
http://de.wikipedia.org/wiki/Arctandann solltest du eigentlich auf die lösung kommen.... man muss bedenken, dass man mit dem einheitskreis arbeitet... also wenn du dir das aufzeichnest und ein bisschen überlegst, dann sollte das schon klappen...
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BigBoomer schrieb:
Wieso folgt aus g(x) = arctan x : g'(x) = 1 / (1+x^2) ?
Ableitung der Umkehrfunktion:
f^{-1}(f(x)) = x \implies f'(x)f^{-1}'(f(x)) = 1 \implies f^{-1}'(y) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.y = f(x) = tan(x), y' = f'(x) = 1/cos²(x)
$$\begin{align*}f^{-1}'(y) &= \cos^2{\arctan{y}}\\ x &:= \arctan{y}\\ y &= \tan{x}\\ y^2 &= \tan^2{x} = \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} = \frac{1 - \cos^2{x}}{\cos^2{x}} = \frac{1}{\cos^2{x}} - 1
x = f^{-1}(y) = arctan(y)Jetzt bist du dran.