4. Problem mit Beweis

Problem mit Beweis

  • ?

    Hi,
    ich habe ein Problem mit einem Beweis (besser gesagt mit Mehreren) und wollte mal fragen wie ich hier ansetzen kann...

    Beweisen sie: L{f(t−a)}(s)=e−asL{f}(s)\mathcal{L}\{f(t-a)\}(s)=e^{-as}\mathcal{L}\{f\}(s)

    Wenn mir jemand diesen Beweis erklären könnte oder mich in die richtige Richtung schubst, dann kann ich die beiden anderen sicher selber machen.

    Mfg,
    CHW

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  • F

    L{f(t−a)}=∫0∞f(t−a)exp(−st)dt\mathcal{L}\{f(t-a)\}= \int_0^\infty f(t-a)\exp(-st)dt

    Im ersten Schritt transformierst du das Integral ein wenig ...
    =∫−a∞f(t)exp(−s(t+a)dt=∫−a∞f(t)exp(−st)exp(−sa)dt=\int_{-a}^\infty f(t)\exp(-s(t+a)dt=\int_{-a}^\infty f(t)\exp(-st)\exp(-sa)dt
    Nach Definition ist aber f(t)=0 für t<0.
    =∫0∞f(t)exp(−st)exp(−sa)dt=e−asL{f}=\int_{0}^\infty f(t)\exp(-st)\exp(-sa)dt=e^{-as}\mathcal{L}\{f\}

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  • ?

    Hey, danke fubar 🙂 . Aber eins verstehe ich noch nicht: Nach welcher Definition ist f(t)=0 für t<0? Nach der Def. der Laplace-Transformation? Habe ich da was überlesen?

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  • F

    Ich habe angenommen, daß du die einseitige Laplace-Transformation meinst und da ist f(t)=0 für t<0. Meinst du jedoch die "echte" Laplace-Transformation (d. h. du integrierst von -∞ bis +∞), geht der Beweis analog ...

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