Beweis einer Gleichung

Hallo Leute,

ich habe hier ein klitzekleines Problem und glaube fast, dass die Aufgabe falsch gestellt ist.

Also, ich soll folgendes zeigen (f: [a,b] -> |R sei stetig). Für alle x aus [a,b] gilt: $\int\_a^x\int\_a^tf(u)~du~dt=\int_a^x(x-u)f(u)~du$

Da f stetig ist kann ich ja die Reihenfolge der Integrationen vertauschen. Dann erhalte ich: $\int\_a^x\int\_a^tf(u)~du~dt=\int_a^t(x-a)f(u)~du$

Aber dann habe ich ja nicht das Gesuchte. Sowohl die obere Grenze vom Integral stimmt nicht, als auch der Faktor vor f(u). Ich habe schon alles mögliche ausprobiert, aber irgendwie bin ich mit meinem Umformungslatein am Ende .

Mfg,
Jens

Trickreiche Aufgabe, aber ich habs :p

Du darfst die Integrale nicht vertauschen !

Naja ich mach mich mal ans Tippen...

Zu zeigen:
$\int\_a^x \int\_a^t f(u) du dt = \int_a^x(x-t)f(t)dt$
Beachte: Im rechten Integral habe ich die Integrationsvariable u gegen t getauscht. Ist ja nur ein Name und so ist es schöner am Ende des Beweises.
Außerdem forme ich die rechte Seite zur linken um. Vertauschen darfst du die Integrationsreihenfolge nicht, weil die obere Grenze vom inneren Integral die Variable des äußeren ist!

Sei
$H(x) := \int\_a^x \int\_a^t f(u) du dt$

Dann gilt mit zweimaligem Anwenden des Hauptsatzes
$H'(x) = \int_a^x f(u) du$

und
$H''(x) = f(x)$

Dann gilt:
$\int_a^x(x-t)f(t)dt$
$=\int_a^x(x-t)H''(t)dt$
$=x \int\_a^x H''(t) dt - \int\_a^x tH''(t) dt$
$=x ( H'(x)-H'(a) ) - \int_a^x tH''(t) dt$
$=x ( H'(x)-H'(a) ) - ( t H'(t) |^{t=x}_{t=a} - \int_a^x H'(t)dt )$
$=x H'(x) - xH'(a) - x H'(x) + aH'(a) + \int_a^x H'(t)dt$
$= \int_a^x H'(t)dt$
$= \int\_a^x \int\_a^t f(u) du dt$

q.e.d.

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Oh mein Gott, da habe ich ja heut abend noch was vor, wenn ich die Lösung nachvollziehe! Danke vielmals, ich gebe mich direkt dran .