Nullstellen einer Parabel berechen!

Hi,

eines vorab: Funktionen und Parabeln hatten wir auf der Schule (Hauptschule) nicht, aber da ich mich weiterbilden will, hab ich mir nun ein Mathebuch für die 11. Klasse gekauft und versteh bei dem Kapitel "Differenziation ganzrationaler Funktionen" das Beispiel für die Nullstellenberechnung nicht:

Hier die Funktion mit Lösung (die ich nicht verstehe?)

f(x) = -x³ - 3x² + 4

   =Nullstellen=
-x³ - 3x² + 4 = 0     | : (x - 1)        << Dieser Schritt?
-x² - 4x  - 4 = 0     | * (-1)
 x² + 4x  + 4 = 0

(x + 2)(x + 2)= 0                        << Dieser Schritt?

          xp2 = xp3 = -2                 << Dieser Schritt?

N1 (1|0) N2 (-2|0)

Ich habe die Lösung so gut wie nur möglichst abgetippt (LaTex kann ich nicht so gut) und hoffe ihr könnt mir die Schritte etwas verdeutlichen oder mir andere Möglichkeiten geben zur Nullstellenberechnung.

Schonmal dickes Danke im voraus!

Ok, schau wir mal.
f(x) = -x³ - 3x² + 4 // Funktionsgleichung von f

=Nullstellen=
-x³ - 3x² + 4 = 0 | : (x - 1) //puh, da muss ich etwas ausholen:

1. Durch Raten! eine Nullstelle finden.
Die Stelle x=1 ist eine Lösung, wo die Gleichung 0 wird. (-1 - 3*1 + 4 = 0)
Gaußsche Produktdarstellung, sinngemäß: 
- "Ein Produkt ist dann null, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist."
- Also ist ein Faktor der Gleichung f schonmal (x-1) (Denn wenn x=1 ist, ist der Term 0.

2. Nun kannst du durch Polynomdivision die Gleichung faktorisieren."

-x² - 4x  - 4 = 0     | * (-1)
 x² + 4x  + 4 = 0

(x + 2)(x + 2)= 0 //Wieder Faktorisierung durch 1. Binomische Formel

xp2 = xp3 = -2 //Heißt soviel wie "Wenn wir x=-2 haben, sind die beiden Terme 0
[/code]

Du hast also 1 Nullstelle bei 1, und eine Doppelnullstelle bei -2.

Lerne uuuuuuuunbedingt die 3 Binomischen Formel "vorwärts und rückwärts".
Und die Polynomdivision.
Das ist absolutes Handwerkszeug und begleitet einen Schüler bis zur 13. in jeder 2.Matheaufgabe.

hm jetzt bin ich schonmal etwas weiter und weiß woher die 1 kommt und wo die 1. nullstelle ist. Hmmm aber gibts keine leichtere Variante? Hab gehört soll auch mit PQ Formel gehen?

Klar, geht auch:

$x² + 4x + 4 = 0 $ $x_{1/2} = -2 \pm \sqrt{4 - 4}$ \\ $x_{1/2} = -2 \pm 0$ $x\_1 = x\_2 = -2 $

Aber einfacher ist sie hier nur wegen der Doppelnullstelle.

SeppSchrot schrieb:

Klar, geht auch:
$x² + 4x + 4 = 0 $ $x_{1/2} = -2 \pm \sqrt{4 - 4}$ \\ $x_{1/2} = -2 \pm 0$ $x\_1 = x\_2 = -2 $
Aber einfacher ist sie hier nur wegen der Doppelnullstelle.

Müsste hier$$x² + 4x + 4 = 0 $$
kein ² beim 1. X sein?

jo

Hi,

noch eine frage zu dieser Funktion (Nur zum vergleichen!)

-1/8x^2 - 1/4x + 1

wie sieht da das aus mit der PQ Formel?

Polynomdivision hab ich so versucht, weiß net obs richtig ist!

( - 1/8x^3            + 3/2x  - 2) : (x - 2)  =  -1/8x^2 - 1/4x + 1  
  - 1/8x^3  + 1/4x^2             
 ————————————————————————————————
            - 1/4x^2  + 3/2x  - 2
            - 1/4x^2  + 1/2x     
            —————————————————————
                           x  - 2
                           x  - 2
                           ——————
                                0

wieso unterstützt das forum kein scope im code-tag??

—

hm dreck

*push*

borg

deine polynomdivision ist richtig!

sie hat dir folgende erkenntnis gebracht:

- 1/8x^3 + 3/2x  - 2 = (x - 2) * ( -1/8x^2 - 1/4x + 1 )

um nun noch an die beiden restlichen nullstellen zu kommen musst du alle x finden für die gilt:

-1/8x^2 - 1/4x + 1 = 0

das machen wir einfach mal so:

-1/8x^2 - 1/4x + 1 = 0   | *(-8)
x^2 +2x -8 = 0           | +9  (quadratische ergänzung)
x^2 +2x +1 = 9           | erste binomische formel!
(x + 1)² = 9
( x + 1 + sqrt(9) ) * ( x + 1 - sqrt(9) ) = 0
( x + 4 ) * ( x - 2 ) = 0

aha! zusammengefasst:

-1/8x^3 + 3/2x - 2 = ( x - 2 ) * ( x + 4 ) * ( x - 2 ) = 0
=>
( x = 2 ) oder ( x = -4 ) oder ( x = 2 )

das bedeutet: die funktion hat nullstellen bei x=2 und x=-4.

zur pq-formel: mit der erkentniss der binomischen formeln und dem wissen über die quadratische ergänzung kannst du dir das ganze verallgemeinern und in eine formel packen

x^2 + px + q = 0 | -q + (p/2)^2
x^2 + px + (p/2)^2 = -q +(p/2)^2
(x + (p/2) )^2 =  -q +(p/2)^2

Fall 1:                                  Fall 2:
x + (p/2) = - sqrt( -q +(p/2)^2 )       x + (p/2) = + sqrt( -q +(p/2)^2 )
x = -sqrt( (p/2)^2 -q ) - (p/2)         x = +sqrt( (p/2)^2 -q ) - (p/2)

wenn wir da jetzt p=2 und q=-8 einsetzen, wie wir es oben haben kommt raus:
x=-4 oder x=2. geht also auch.

oft kommt man durch kluges anwenden der binomischen formeln viel schneller und schöner auf ein ergebnis als durch die pq-formel. versuch also nicht immer stumpf diese anzuwenden!!

ginge es auch mit PQ Formel? Mit Bionomischen Kram bin ich noch net so weit und ich möchte jetzt halt schon kleine ergebnisse haben zur Motivation

borg

ich hab dir unten doch gezeigt wie du auf die pq-formel kommst

also du hast

-1/8x^2 - 1/4x + 1 = 0 | *(-8)
x^2 +2x -8 = 0

die pq-formel lautet:

( sqrt = wurzel )
x1 = - (p/2) -sqrt( (p/2)^2 -q )
x2 = - (p/2) +sqrt( (p/2)^2 -q )

bei dir ist nun p=2 und q=-8 (p ist immer das, was vor dem x steht und q steht alleine)

wenn wir das einsetzen kommen wir auf

x1 = -(2/2) -sqrt( ( 2/2)^2 -(-8) )
   = -1 -sqrt( 1 + 8 )
   = -1 -3
   = -4

x2 = -(2/2) +sqrt( ( 2/2)^2 -(-8) )
   = -1 +sqrt( 1 + 8 )
   = -1 +3
   = 2

damit sind deine nullstellen bei x=-4 und x=2.

sonst kannst du auch ein näherungsverfahren verwenden ... das newtonsche zB ...
bin damit meistens schneller als mit polynomdivison *g*