Nullstellen einer Parabel berechen!

Klar, geht auch:

$x² + 4x + 4 = 0 $ $x_{1/2} = -2 \pm \sqrt{4 - 4}$ \\ $x_{1/2} = -2 \pm 0$ $x\_1 = x\_2 = -2 $

Aber einfacher ist sie hier nur wegen der Doppelnullstelle.

SeppSchrot schrieb:

Klar, geht auch:
$x² + 4x + 4 = 0 $ $x_{1/2} = -2 \pm \sqrt{4 - 4}$ \\ $x_{1/2} = -2 \pm 0$ $x\_1 = x\_2 = -2 $
Aber einfacher ist sie hier nur wegen der Doppelnullstelle.

Müsste hier$$x² + 4x + 4 = 0 $$
kein ² beim 1. X sein?

jo

Hi,

noch eine frage zu dieser Funktion (Nur zum vergleichen!)

-1/8x^2 - 1/4x + 1

wie sieht da das aus mit der PQ Formel?

Polynomdivision hab ich so versucht, weiß net obs richtig ist!

( - 1/8x^3            + 3/2x  - 2) : (x - 2)  =  -1/8x^2 - 1/4x + 1  
  - 1/8x^3  + 1/4x^2             
 ————————————————————————————————
            - 1/4x^2  + 3/2x  - 2
            - 1/4x^2  + 1/2x     
            —————————————————————
                           x  - 2
                           x  - 2
                           ——————
                                0

wieso unterstützt das forum kein scope im code-tag??

—

hm dreck

*push*

borg

deine polynomdivision ist richtig!

sie hat dir folgende erkenntnis gebracht:

- 1/8x^3 + 3/2x  - 2 = (x - 2) * ( -1/8x^2 - 1/4x + 1 )

um nun noch an die beiden restlichen nullstellen zu kommen musst du alle x finden für die gilt:

-1/8x^2 - 1/4x + 1 = 0

das machen wir einfach mal so:

-1/8x^2 - 1/4x + 1 = 0   | *(-8)
x^2 +2x -8 = 0           | +9  (quadratische ergänzung)
x^2 +2x +1 = 9           | erste binomische formel!
(x + 1)² = 9
( x + 1 + sqrt(9) ) * ( x + 1 - sqrt(9) ) = 0
( x + 4 ) * ( x - 2 ) = 0

aha! zusammengefasst:

-1/8x^3 + 3/2x - 2 = ( x - 2 ) * ( x + 4 ) * ( x - 2 ) = 0
=>
( x = 2 ) oder ( x = -4 ) oder ( x = 2 )

das bedeutet: die funktion hat nullstellen bei x=2 und x=-4.

zur pq-formel: mit der erkentniss der binomischen formeln und dem wissen über die quadratische ergänzung kannst du dir das ganze verallgemeinern und in eine formel packen

x^2 + px + q = 0 | -q + (p/2)^2
x^2 + px + (p/2)^2 = -q +(p/2)^2
(x + (p/2) )^2 =  -q +(p/2)^2

Fall 1:                                  Fall 2:
x + (p/2) = - sqrt( -q +(p/2)^2 )       x + (p/2) = + sqrt( -q +(p/2)^2 )
x = -sqrt( (p/2)^2 -q ) - (p/2)         x = +sqrt( (p/2)^2 -q ) - (p/2)

wenn wir da jetzt p=2 und q=-8 einsetzen, wie wir es oben haben kommt raus:
x=-4 oder x=2. geht also auch.

oft kommt man durch kluges anwenden der binomischen formeln viel schneller und schöner auf ein ergebnis als durch die pq-formel. versuch also nicht immer stumpf diese anzuwenden!!

ginge es auch mit PQ Formel? Mit Bionomischen Kram bin ich noch net so weit und ich möchte jetzt halt schon kleine ergebnisse haben zur Motivation

borg

ich hab dir unten doch gezeigt wie du auf die pq-formel kommst

also du hast

-1/8x^2 - 1/4x + 1 = 0 | *(-8)
x^2 +2x -8 = 0

die pq-formel lautet:

( sqrt = wurzel )
x1 = - (p/2) -sqrt( (p/2)^2 -q )
x2 = - (p/2) +sqrt( (p/2)^2 -q )

bei dir ist nun p=2 und q=-8 (p ist immer das, was vor dem x steht und q steht alleine)

wenn wir das einsetzen kommen wir auf

x1 = -(2/2) -sqrt( ( 2/2)^2 -(-8) )
   = -1 -sqrt( 1 + 8 )
   = -1 -3
   = -4

x2 = -(2/2) +sqrt( ( 2/2)^2 -(-8) )
   = -1 +sqrt( 1 + 8 )
   = -1 +3
   = 2

damit sind deine nullstellen bei x=-4 und x=2.

sonst kannst du auch ein näherungsverfahren verwenden ... das newtonsche zB ...
bin damit meistens schneller als mit polynomdivison *g*