A
Nachdem ich noch ein wenig auf deine Funktionsgraphen gestarrt habe, fiel mir ein, daß man das durchaus eleganter aufschreiben kann, indem man es in die Bausteine zerlegt.
Verknüpfungen:
Alternierende Konkatenation:
\bowtie :~\mathbb{N}^n \times \mathbb{N}^n \rightarrow \mathbb{N}^{2 n},\; (a\_1,\dotsc,a\_n) \bowtie (b\_1,\dotsc,b\_n) \mapsto (a\_1,b\_1,\dotsc,a\_n,b\_n)\\
\phantom{\bowtie :~}\mathbb{N}^{n+1} \times \mathbb{N}^n \rightarrow \mathbb{N}^{2 n + 1},\; (a\_1,\dotsc,a\_{n+1}) \bowtie (b\_1,\dotsc,b\_n) \mapsto (a\_1,b\_1,\dotsc,a\_n,b\_n,a_{n+1})
Vertikale Spiegelung:
\mathrm{mirrorVertical}:~\mathbb{N}^{2 n} \rightarrow \mathbb{N}^{4 n - 1},\; (a\_1,\dotsc,a\_{2 n}) \mapsto (a\_1,\dotsc,a\_{2 n - 1},a_{2 n},a_{2 n - 1},\dotsc,a_1)\\
\phantom{\mathrm{mirrorVertical}:~}\mathbb{N}^{2 n + 1} \rightarrow \mathbb{N}^{4 n+1},\; (a\_1,\dotsc,a\_{2 n + 1}) \mapsto (a\_1,\dotsc,a\_{2 n},a_{2 n + 1},a_{2 n},\dotsc,a_1)
Horizontale Spiegelung mit Offset (naja):
\mathrm{mirrorHorizontal}_\text{offs}:~\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}^{2 n},\; (a\_1,\dotsc,a\_{n}) \mapsto (a\_1,\dotsc,a\_{n}, \text{offs}-a_{n},\text{offs}-a_{n-1},\dotsc,\text{offs}-a_1)
Generatoren:
Konstanten:
\mathrm{cst}\_n:~\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^{n},\; c \mapsto (\underbrace{c,\dotsc,c}\_{\text{n mal}})
Sequenz:
\mathrm{seq}_n:~\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^{n},\; c \mapsto (c,c+1,\dotsc,c+n) \quad\text{für } n \in \mathbb{N}\\
\mathrm{seq}_{-n}:~\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^{n},\; c \mapsto (c+n,c+n-1,\dotsc,c) \quad\text{für } n \in \mathbb{N}
Abkürzung:
N:=ibis−ivon+1N := i_\text{bis} - i_\text{von} + 1N:=ibis−ivon+1
Leo Freitag schrieb:
Beispiel: 0,4,1,3,2 (von außen nach innen)
` -----------
-x---------
---x-------
----x------
--x--------
x----------`
A := \left\lceil\frac{N}{2}\right\rceil,\; B := \left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor\\
\mathrm{ex}\_1 := \mathrm{seq}\_A\left(i_\text{von}\right) \bowtie \mathrm{seq}_{-B}\left(i_\text{von} + A\right)
Leo Freitag schrieb:
Beispiel: 0,2,1,3,2,4,2,3,1,2,0
` ------------
-----x------
---x---x----
-x--x-x--x--
--x-----x---
x---------x- `
\mathrm{ex}\_2 := \mathrm{mirrorVertical}\left[\mathrm{seq}\_{N-2}\left(i_\text{von}\right) \bowtie \mathrm{seq}_{N-2}\left(i_\text{von} + 2\right)\right]
Leo Freitag schrieb:
Beispiel: 0,1,0,2,0,3,0,4
` -----------
-------x---
-----x-----
---x-------
-x---------
x-x-x-x-x-- `
ex_3:=cst_N(ivon)⋈seqN−1(ivon+1)\mathrm{ex}\_3 := \mathrm{cst}\_{N}\left(i_\text{von}\right) \bowtie \mathrm{seq}_{N-1}\left(i_\text{von} + 1\right)ex_3:=cst_N(ivon)⋈seqN−1(ivon+1)
Leo Freitag schrieb:
Beispiel: 0,1,0,2,0,3,0,4,0,3,0,2,0,1,0
` ----------------
-------x--------
-----x---x------
---x-------x----
-x-----------x--
x-x-x-x-x-x-x-x-`
\mathrm{ex}\_4 := \mathrm{cst}\_{2 N - 2}\left(i_\text{von}\right) \bowtie \mathrm{mirrorVertical}\left[\mathrm{seq}_{N-1}\left(i_\text{von} + 1\right)\right]
Leo Freitag schrieb:
Beispiel: 0,1,0,2,0,3,0,4,1,4,2,4,3,4
` ---------------
-------x-x-x-x-
-----x------x--
---x------x----
-x------x------
x-x-x-x-------- `
\mathrm{ex}\_5 := \mathrm{mirrorHorizontal}\_\mathrm{N-1}\left[\mathrm{cst}_{N-1}\left(i_\text{von}\right) \bowtie \mathrm{seq}_{N-2}\left(i_\text{von} + 1\right)\right]