M
vollstind schrieb:
Weiterhin scheint das beweisen einer Ungleichung schwieriger zu sein als bei einer Gleichung.
Oftmals ja, aber hier in diesem Fall ist der Unterschied zwischen beiden Seiten so gewaltig, dass wir das schneller hinkriegen als in der Musterlösung
IA: n=1 10 > 7 ---> stimmt
Sollte klar sein.
IS: n -> n+1
10n+1 ≥ 6*(n+1)2 + n + 1
Das ist zu zeigen, einfach (n+1) für n eingesetzt.
10n+1 = 10n * 10
10n * 10 > 10 * (6*n²+n)
Hier wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt.
10n * 10 > 60n² + 10n
Ausmultipliziert.
(*)Laut meiner Musterlösung:
"Es genügt zu zeigen:"
60n² + 10n ≥ 6(n+1)² + n + 1
Wir wissen:
10n * 10 > 60n² + 10n. Wenn wir jetzt zeigen können:
60n² + 10n ≥ 6(n+1)² + n + 1, dann gilt:
10n * 10 > 60n² + 10n ≥ 6(n+1)² + n + 1, also
10n+1 > 6(n+1)² + n + 1, was genau das ist, was wir zeigen wollen.
Warum steht da ein "≥" statt einem "=" ?
Es genügt, dass der linke Teil größer oder gleich ist, damit unsere gewünschte Ungleichung stimmt. Die Gleichheit ist hier übrigens auch nicht gegeben.
Das ganze wird dann auf die Form 54(n+1)² ≥ 3(n+1)+ umgeformt und DAS wird dann mithilfe einer neuen V.I. bewiesen, allerdings noch verwirrender.
Das kriegen wir schneller hin:
\begin{eqnarray*}
10^{n+1} > 6(n+1)^2 + (n+1)\\
\Leftrightarrow 10 \cdot 10^n > 6n^2 + 13n + 7\\
\Leftarrow (IV) 10(6n^2+n) > 6n^2 + 13n + 7\\
\Leftrightarrow 54n^2 > 3n + 7\\
\Leftrightarrow 54n > 3 + \frac{7}{n}
\end{eqnarray*}
Die Behauptung folt aus 54n > 10 für alle n >= 1 und 3 + 7/n <= 10 für alle n >= 1.
