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So geht es aber:
Sei \gamma(x)=Re^{ix}, x \in [0, 2\pi] ein geschlossener Weg, dann gilt mit f(z)=e−z2zf(z)=\frac{e^{{-z}^2}}{z}f(z)=ze−z2 aufgrund der Cauchy-Integralformel (siehe erste Antwort): ∮γ1if(z)zdz=2π\oint\limits_\gamma \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = 2\piγ∮i1zf(z)dz=2π
Seien \gamma_1(x)=Re^{ix}, x \in [0, \pi] und \gamma_2(x)=Re^{ix}, x \in [\pi, 2\pi] die beiden Halbkreise um den Ursprung, dann gilt insbesondere: ∮γ1if(z)zdz=∫γ_11if(z)zdz+∫_γ21if(z)zdz\oint\limits_\gamma \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = \int\limits_{\gamma\_1} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz + \int\limits\_{\gamma_2} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dzγ∮i1zf(z)dz=γ_1∫i1zf(z)dz+∫_γ2i1zf(z)dz.
Aus dem Integralsatz von Cauchy folgt die Wegunabhängigkeit der Integrale und damit gilt, da f antisymmetrisch ist: ∫γ_11if(z)zdz=∫_γ21if(z)zdz\int\limits_{\gamma\_1} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = \int\limits\_{\gamma_2} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dzγ_1∫i1zf(z)dz=∫_γ2i1zf(z)dz, also folgt 2π=∮γ1if(z)zdz=2∫γ_11if(z)zdz=2∫_0πe−(Reix)2dx⇒∫0πe−(Reix)2dx=π2\pi = \oint\limits_\gamma \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = 2 \int\limits_{\gamma\_1} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = 2\int\limits\_0^{\pi} e^{-(Re^{ix})^2} dx \Rightarrow \int\limits_0^{\pi} e^{-(Re^{ix})^2} dx = \pi2π=γ∮i1zf(z)dz=2γ_1∫i1zf(z)dz=2∫_0πe−(Reix)2dx⇒0∫πe−(Reix)2dx=π
