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Du hast irgendeinen Ausdruck \operatorname f in den Koordinaten (x,y)(x,y)(x,y) und einen Ausdruck \hat{\operatorname f} in den Koordinaten (x^,y^)(\hat x,\hat y)(x^,y^):
\operatorname f(x,y) = \hat{\operatorname f}(\hat {\operatorname x}(x,y),\hat {\operatorname y}(x,y))=(\hat{\operatorname f} \circ \operatorname \varphi)(x,y)\text{ mit }\operatorname\varphi(x,y)=(\hat {\operatorname x}(x,y), \hat{\operatorname y}(x,y))
Jetzt möchtest du die Ableitung von \operatorname f mithilfe derer von \hat{\operatorname f} bestimmen, hierzu nimmt man die mehrdimensionale Kettenregel mit der Jacobimatrix:
J_{\operatorname f}(x,y) = J_{\hat{\operatorname f}}(\operatorname\varphi(x,y))\cdot J_\varphi(x,y)\\
\left(\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial x}, \frac{\partial{\operatorname f}}{\partial y}\right)(x,y)=
\left(\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}, \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\right)(\operatorname\varphi(x,y))\cdot
\begin{pmatrix}
\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x} &
\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}\\
\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y} &
\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y}
\end{pmatrix}(x,y)\\
\left(\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial x}(x,y),
\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial y}(x,y)\right)=
\left(
\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right),
\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right)
\right)
\cdot
\begin{pmatrix}
\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}(x,y) &
\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}(x,y)\\
\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}(x,y) &
\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y}(x,y)
\end{pmatrix}\\
\left(\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial x}(x,y),
\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial y}(x,y)\right)=
\left(
\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right)\cdot\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}(x,y)
\+ \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right)\cdot\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}(x,y),
\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right)\cdot\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}(x,y) +
\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right)\cdot
\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y}(x,y)
\right)
also
\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}(x,y)\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right)
\+ \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}(x,y)\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right)\\
\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}(x,y)\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right) +
\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y}(x,y)\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right)
Der Rest ist unsaubere Physikerschreibweise. Wie im Wikipedia-Artikel zur eindimensionalen Kettenregel beschrieben schreibt man \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right) als \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial {\hat x}}(x,y). Lässt man dann noch die Funktionsparameter weg und nimmt die Funktion runter erhält man
\frac{\partial}{\partial x}{\operatorname f}=\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}\frac{\partial}{\partial{\hat x}}{\hat{\operatorname f}}
\+ \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}\frac{\partial}{\partial{\hat x}}{\hat{\operatorname f}}\\
\frac{\partial}{\partial y}{\operatorname f}=\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}\frac{\partial}{\partial{\hat y}}{\hat{\operatorname f}} +
\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y}\frac{\partial}{\partial{\hat y}}{\hat{\operatorname f}}
Das beschreibt ja genau, was man bei der Koordinatentransformation macht. Man nimmt den Ausdruck, substiuiert xxx mit x^\hat xx^ und yyy mit y^\hat yy^ (also macht aus fff den Ausdruck f^\hat ff^) und ersetzt dann ∂∂x\frac{\partial}{\partial x}∂x∂ mit
\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}\frac{\partial}{\partial{\hat x}}
\+ \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}\frac{\partial}{\partial{\hat x}}
. Deine Formel ist also nur eine noch unsauberere Darstellung der obigen unsauberen Physikerschreibweise.
